Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями a)y = 0,5x^2 y=0 x=3 б)y=0,5x^2 y=0,5x x=2

Answer 1

Площадь ограниченная линиями ровна определенному интегралу

1) $\int\limits^3_0 { 0,5x^2} \, dx = \frac{0,5}{3} x^{3} |_0^3 = 4,5$ кв. ед.

2) $\int\limits^1_0 { 0,5x^2} \, dx + \int\limits^2_1 { 0,5x} \, dx = \frac{0,5}{3} *x^{3}|_0^1 + \frac{0.5}{2} *x^{2} |_1^2 = \frac{1}{6} + 0.75 \approx 0.916$ кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно сначала найти точки пересечения этих линий. Затем мы можем использовать метод интегрирования, чтобы найти площадь между кривыми.

Нахождение точек пересечения

Первое уравнение: y = 0.5x^2 + y = 0 + x = 3

Второе уравнение: y = 0.5x^2 + y = 0.5x + x = 2

Для начала, давайте разберемся с первым уравнением: y = 0.5x^2 + y = 0 + x = 3

В этом уравнении у нас есть три переменные: x, y и y. Мы можем решить его, подставив x = 3 и y = 0: 0 = 0.5 * 3^2 + 0 = 0 + 3 = 3

Таким образом, точка пересечения первого уравнения - (3, 0).

Теперь давайте рассмотрим второе уравнение: y = 0.5x^2 + y = 0.5x + x = 2

Аналогично, мы можем решить его, подставив x = 2 и y = 0: 0 = 0.5 * 2^2 + 0 = 0.5 * 4 + 0 = 2 + 0 = 2

Таким образом, точка пересечения второго уравнения - (2, 0).

Вычисление площади между кривыми

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем использовать метод интегрирования, чтобы вычислить площадь между кривыми.

Для этого мы интегрируем разность двух функций по переменной x от x = 2 до x = 3.

Пусть первая функция будет f(x) = 0.5x^2, а вторая функция g(x) = 0.5x.

Тогда площадь между кривыми будет равна: S = ∫(f(x) - g(x)) dx, где x изменяется от 2 до 3.

Интегрируя это выражение, мы получим: S = ∫(0.5x^2 - 0.5x) dx, где x изменяется от 2 до 3.

Вычислим это значение:

S = [0.5 * (x^3/3) - 0.5 * (x^2/2)] от 2 до 3 = [0.5 * (3^3/3) - 0.5 * (3^2/2)] - [0.5 * (2^3/3) - 0.5 * (2^2/2)] = [0.5 * (27/3) - 0.5 * (9/2)] - [0.5 * (8/3) - 0.5 * (4/2)] = [0.5 * 9 - 0.5 * 4.5] - [0.5 * 8/3 - 0.5 * 2] = [4.5 - 2.25] - [4/3 - 1] = 2.25 - 1/3 = 2.25 - 0.333 = 1.917

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна приблизительно 1.917.