Question

Доказать: а²+в²+с²+3 ≥ 2(а+в+с)

Answer 1

$a^{2}+b^{2}+c^{2}$+3$\geq$ 2(a+b+c);

$a^{2}+b^{2}+c^{2}$+3$\geq$ 2a+2b+2c;

$a^{2}+b^{2}+c^{2}$+3- 2a - 2b - 2c$\geq$0;

Разложим тройку, как 3=1+1+1;

$a^{2} - 2a + 1 + b^{2} - 2c +1 +c^{2} - 2c + 1$$\geq$0;

$(a+1)^{2} + (b+1)^{2} + (c+1)^{2}$$\geq$0, потому что $(a+1)^{2}\geq 0, (b+1)^{2}\geq 0, (c+1)^{2}\geq0$

Что и надо было доказать.

Answer 2

Для начала, преобразуем данное неравенство:

а² + в² + с² + 3 ≥ 2(а + в + с)

Раскрывая скобки, получаем:

а² + в² + с² + 3 ≥ 2а + 2в + 2с

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

а² + в² + с² - 2а - 2в - 2с + 3 ≥ 0

Теперь приведем подобные слагаемые:

а² - 2а + в² - 2в + с² - 2с + 3 ≥ 0

Преобразуем каждое слагаемое в квадрат:

(а - 1)² + (в - 1)² + (с - 1)² ≥ 0

Так как квадрат любого числа неотрицательный, то и сумма трех квадратов также неотрицательна. Следовательно, данное неравенство выполняется для любых значений а, в и с.

Таким образом, мы доказали, что а² + в² + с² + 3 ≥ 2(а + в + с) для любых значений а, в и с.