Question

Помогите, пожалуйста!!! 1) Найдите наименьшее значение ф-ии y = 5cos x + 6x + 6 на отрезке [0;3п/2] 2) Найдите наименьшее значение ф-ии y = (x+6)^2(x+1) - 23 на отрезке [-7;-4]

Answer 1

1) Найдите наименьшее значение ф-ии y = 5cos x + 6x + 6 на отрезке [0;3π/2]
Решение
Находим первую производную функции:
y' = - 5sin(x) + 6
Приравниваем ее к нулю:
- 5sin(x) + 6 = 0
Глобальных экстремумов нет
Находим стационарные точки:
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(0) = 11
f(3/2) = 11
Ответ:
Имеются только локальные экстремумы (на заданном интервале)
fmin = 11, fmax = 11

2)  Найдите наименьшее значение ф-ии y = (x+6)^2(x+1) - 23 на отрезке [-7;-4]
Решение
Находим первую производную функции:
y' = (x+1)(2x+12) + (x + 6)²
или
y' = 3x² + 26x + 48
Приравниваем ее к нулю:
3x² + 26x + 48 = 0
D = 676 - 4*3*48 = 100
x₁ = (- 26 - 10)/6
x₁ = - 6
x₂ = (- 26 + 10)/6
x₂ = - 8/3
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(- 6) = - 23
f(- 8/3) = - 1121/27
f(- 7) = - 29
f(- 4) = - 35
Ответ: fmin = -35, fmax = - 23

Answer 2

1) Нахождение наименьшего значения функции y = 5cos(x) + 6x + 6 на отрезке [0;3π/2]:

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, мы должны проанализировать поведение функции внутри этого отрезка. В данном случае, у нас есть функция y = 5cos(x) + 6x + 6 и отрезок [0;3π/2].

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x:

y' = -5sin(x) + 6

Шаг 2: Найдем критические точки функции, где производная равна нулю:

-5sin(x) + 6 = 0

sin(x) = 6/5

x = arcsin(6/5)

Однако, это значение находится за пределами отрезка [0;3π/2]. Таким образом, мы можем проанализировать значения функции на границах отрезка.

Шаг 3: Подставим границы отрезка в функцию и найдем значения:

y(0) = 5cos(0) + 6(0) + 6 = 6

y(3π/2) = 5cos(3π/2) + 6(3π/2) + 6 = -15 + 9π + 6 ≈ 28.85

Шаг 4: Сравним значения функции на границах и выберем наименьшее значение:

Мы видим, что наименьшее значение функции y = 5cos(x) + 6x + 6 на отрезке [0;3π/2] равно 6.

Ответ: Наименьшее значение функции y = 5cos(x) + 6x + 6 на отрезке [0;3π/2] равно 6.

2) Нахождение наименьшего значения функции y = (x+6)^2(x+1) - 23 на отрезке [-7;-4]:

Аналогично первому случаю, мы должны проанализировать поведение функции внутри заданного отрезка. У нас есть функция y = (x+6)^2(x+1) - 23 и отрезок [-7;-4].

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x:

y' = 2(x+6)(x+1) + (x+6)^2

Шаг 2: Найдем критические точки функции, где производная равна нулю:

2(x+6)(x+1) + (x+6)^2 = 0

(x+6)(2(x+1) + (x+6)) = 0

(x+6)(3x+8) = 0

x = -6, x = -8/3

Шаг 3: Подставим границы отрезка в функцию и найдем значения:

y(-7) = (-7+6)^2(-7+1) - 23 = 0

y(-4) = (-4+6)^2(-4+1) - 23 = -27

Шаг 4: Сравним значения функции на границах и выберем наименьшее значение:

Мы видим, что наименьшее значение функции y = (x+6)^2(x+1) - 23 на отрезке [-7;-4] равно -27.

Ответ: Наименьшее значение функции y = (x+6)^2(x+1) - 23 на отрезке [-7;-4] равно -27.