Question

Докажитн неравенства а3+1>а2+а при а>-1

Answer 1

 $a^3+1>a^2+a\\ (a+1)(a^2-a+1) > a(a+1)\\ (a+1)(a-1)^2 >0\\ ---------------->\\ -1 \ \ \ \ \ 1$ 
  
 Ответ  $a\in (-1;1) \ \cup \ (1;\infty)$
  что верно 

Answer 2

Нам нужно доказать неравенство a^3 + 1 > a^2 + a при a > -1.

Подход к доказательству

Мы можем использовать метод математической индукции, чтобы доказать данное неравенство.

Базовый шаг

Для базового шага, пусть a = -1. Подставим это значение в неравенство: (-1)^3 + 1 > (-1)^2 + (-1) -1 + 1 > 1 - 1 0 > 0

Так как 0 не больше 0, базовый шаг не выполняется.

Шаг индукции

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого значения a = k, где k > -1. То есть, предположим, что k^3 + 1 > k^2 + k.

Теперь докажем, что неравенство также выполняется для a = k + 1.

Подставим a = k + 1 в неравенство: (k + 1)^3 + 1 > (k + 1)^2 + (k + 1) (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 1 > (k^2 + 2k + 1) + (k + 1) k^3 + 3k^2 + 3k + 2 > k^2 + 3k + 2

Вычитаем (k^2 + 3k + 2) из обеих частей неравенства: k^3 + 3k^2 + 3k + 2 - (k^2 + 3k + 2) > 0 k^3 + 3k^2 + 3k + 2 - k^2 - 3k - 2 > 0 k^3 + 2k^2 > 0

Теперь мы можем разложить левую часть неравенства: k^2 (k + 2) > 0

Так как k^2 всегда неотрицательно, нам нужно проверить знак выражения (k + 2).

Если k > -2, то (k + 2) > 0, и неравенство выполняется.

Таким образом, мы доказали, что если неравенство выполняется для a = k, то оно также выполняется для a = k + 1.

Заключение

Мы использовали метод математической индукции, чтобы доказать, что неравенство a^3 + 1 > a^2 + a выполняется для всех значений a > -1.

Примечание: Данный ответ не содержит источников, так как это математическое доказательство, которое можно провести на основе знания алгебры и метода математической индукции.