Question

Докажите что квадрат простого числа большего 3 уменьшенный на 1 делится на 24

Answer 1

Нужно доказать, что выражение 
n² -1 
делится на 24, если n простое число больше 3 
Доказательство 
n² -1 = ( n -1)* ( n +1) 
так как n - простое и больше 3, то оно нечётно, тогда числа (n -1) и (n +1) два последовательных чётных числа и они как минимум делятся на 2 и 4, а всё произведение делится на 2*4 =8 
( n -1)*n* ( n +1) есть произведение трёх последовательных чисел и одно из них как минимум делится на 3. Но n - простое больше 3 и оно не может делится на 3, значит на 3 делится или ( n -1) или ( n +1) тогда 
n² -1 = ( n -1)* ( n +1) делится на 2*4*3 = 24

Answer 2

Давайте рассмотрим квадрат произвольного простого числа, большего 3, и проверим, делится ли он на 24.

Пусть p - простое число, большее 3. Тогда квадрат этого числа будет p^2.

Мы хотим проверить, делится ли p^2 - 1 на 24.

Мы можем представить p^2 - 1 в виде произведения двух сомножителей:

\[p^2 - 1 = (p + 1)(p - 1)\]

Теперь давайте рассмотрим два соседних четных числа: p - 1 и p + 1. Одно из них обязательно делится на 2, и одно делится на 3 (если p > 3).

Таким образом, (p - 1)(p + 1) делится на 2 * 3 = 6.

Теперь мы должны убедиться, что (p - 1)(p + 1) также делится на 4 (то есть, кратно 24).

Если p - простое число, оно нечетное, и следовательно, (p - 1) и (p + 1) являются двумя последовательными четными числами. Одно из них делится на 4, а другое - на 2 (поскольку оно четное). Таким образом, (p - 1)(p + 1) делится на 2 * 4 = 8.

Итак, мы доказали, что (p - 1)(p + 1) делится на 6 * 8 = 48, что подразумевает, что (p^2 - 1) делится на 48, и, следовательно, делится на 24.

Таким образом, для любого простого числа p больше 3, квадрат этого числа уменьшенный на 1 делится на 24.