Question

нужно решить неравенство 4x^2+10x-20 больше или равно (x+2)^2

Answer 1

$4x^2+10x-20\geq(x+2)^2 \\ \\ 4x^2+10x-20 \geq x^2+4x+4 \\ \\ 3x^2+6x-24\geq0 \\ \\ x^2+2x-8\geq0 \\ \\ x^2+2x-8=0 \\ \\ D=2^2-4*1*(-8)=36=6^2 \\ \\ x_1=\frac{-2+6}{2}=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{-2-6}{2}=-4 \\ \\ x \in (-\infty;\ -4]\cup[2;\ +\infty)$

Answer 2

Давайте разберём это неравенство поэтапно.

Начнём с заданного неравенства: \(4x^2 + 10x - 20 \geq (x + 2)^2\).

Первым шагом можно раскрыть квадрат справа:

\((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\).

Теперь заменим \((x + 2)^2\) в неравенстве:

\(4x^2 + 10x - 20 \geq x^2 + 4x + 4\).

Далее, для того чтобы решить это неравенство, сгруппируем все члены на одной стороне:

\(4x^2 + 10x - 20 - x^2 - 4x - 4 \geq 0\).

Упростим выражение:

\(3x^2 + 6x - 24 \geq 0\).

Теперь давайте решим это квадратное неравенство. Сначала найдём корни уравнения \(3x^2 + 6x - 24 = 0\).

Для начала, можно разделить все члены на 3, чтобы упростить уравнение:

\(x^2 + 2x - 8 = 0\).

Затем решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта или разложение на множители:

\(x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) = 0\).

Отсюда получаем два корня уравнения: \(x = -4\) и \(x = 2\).

Теперь мы можем построить интервалы на числовой прямой, чтобы понять, в каких интервалах выполняется неравенство \(3x^2 + 6x - 24 \geq 0\).

Сначала отметим корни уравнения, то есть -4 и 2, на числовой прямой.

\(-4\)-----\(+2\)-----\(+\infty\)

Теперь выберем тестовую точку в каждом из трёх интервалов: между \(-\infty\) и -4, между -4 и 2, и больше 2. Например, можно выбрать -5, 0 и 3 соответственно.

Подставим эти значения в исходное неравенство \(3x^2 + 6x - 24 \geq 0\) и проверим, выполняется ли неравенство в каждом из интервалов:

1. При \(x = -5\): \(3(-5)^2 + 6(-5) - 24 = 75 - 30 - 24 = 21 > 0\). Неравенство выполняется. 2. При \(x = 0\): \(3(0)^2 + 6(0) - 24 = -24 < 0\). Неравенство не выполняется. 3. При \(x = 3\): \(3(3)^2 + 6(3) - 24 = 27 + 18 - 24 = 21 > 0\). Неравенство выполняется.

Таким образом, неравенство \(4x^2 + 10x - 20 \geq (x + 2)^2\) выполняется при \(x \leq -4\) и при \(x \geq 2\).