Question

Иследуйте функцию на монотонность у =cos x+5x

Answer 1

Y'=-sinx +5
так как  -1≤sinx≤1  то
y'-sinx+5 >0
⇒ функция возрастает на всей области определения
график на картинке

Answer 2

Для исследования функции \(y = \cos(x) + 5x\) на монотонность, нам необходимо найти производную этой функции.

Производная функции \(y = \cos(x) + 5x\) может быть найдена с помощью правила дифференцирования для суммы и произведения функций:

\(\frac{dy}{dx} = -\sin(x) + 5\)

Теперь, чтобы исследовать функцию на монотонность, мы должны найти интервалы, на которых производная положительна или отрицательна.

1. Положительная производная: \(-\sin(x) + 5 > 0\) Решая это неравенство, получаем: \(-\sin(x) > -5\) \(\sin(x) < 5\) Так как значения \(\sin(x)\) находятся в диапазоне от -1 до 1, то неравенство выполняется для всех значений \(x\). Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.

2. Отрицательная производная: \(-\sin(x) + 5 < 0\) Решая это неравенство, получаем: \(-\sin(x) < -5\) \(\sin(x) > 5\) Здесь неравенство невыполняется для любого значения \(x\). Значит, функция не убывает на всей числовой прямой.

Таким образом, функция \(y = \cos(x) + 5x\) является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.