Question

найдите значение cos,если tg=2 и 0<a<pi/2

Answer 1

cos = 1/sqrt(1+tg^2)=1/sqrt5

sqrt - корень 

Answer 2

Для решения этой задачи, вам пригодится знание тригонометрических функций и основных тригонометрических тождеств. Давайте рассмотрим, как связаны тангенс (tg) и косинус (cos).

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Если у нас есть угол \( \alpha \) такой, что \( \tan(\alpha) = 2 \), это означает, что соответствующий прямоугольный треугольник имеет противолежащий катет, равный 2, и прилежащий катет, равный 1.

Согласно тригонометрическим тождествам, мы можем использовать следующее соотношение:

\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

Теперь, зная \( \tan(\alpha) = 2 \), мы можем записать:

\[ 2 = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

Умножим обе стороны на \( \cos(\alpha) \):

\[ 2 \cos(\alpha) = \sin(\alpha) \]

Теперь воспользуемся тождеством \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \). Мы знаем, что \( \tan^2(\alpha) + 1 = \sec^2(\alpha) \), и, следовательно, \( \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \). Подставим это в уравнение:

\[ 2 \cos(\alpha) = \sin(\alpha) \] \[ 2 \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} \] \[ 4 \cos^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) \] \[ 5 \cos^2(\alpha) = 1 \] \[ \cos^2(\alpha) = \frac{1}{5} \]

Таким образом, мы нашли значение \( \cos^2(\alpha) \). Однако, поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), то \( \cos(\alpha) \) положителен, и мы можем взять положительный корень:

\[ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]

Таким образом, значение \( \cos(\alpha) \) при условии \( \tan(\alpha) = 2 \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) равно \( \frac{\sqrt{5}}{5} \).