Question

Найдите наибольшее значение функции y=2x-3x²+Ix-2I

Answer 1

По определению

$| x-2 |= \left \{ {{x-2, x-2 \geq 0} \atop {-x+2, x-2<0}} \right.$

1) На [2; +∞) рассматриваем функцию      у=2х-3х²+х-2
или у=-3х²+3х-2  - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз так как коэффициент при х²  равен -3.
Такая парабола наибольшее значение принимает в вершине.

Вершина параболы точка  с координатами х₀=-b/2а=1/2
Но точка х₀=3/4 не принадлежит рассматриваемому промежутку [2:+∞), а расположена левее, значит на [2;+∞) убывает и наибольшее значение принимает в точке х=2  у(2)= -3(2)² +3(2)-2=-8

2) на (-∞;2) рассматриваем функцию    у=2х-3х²-х+2    или
у=-3х²+х+2.
Графиком этой функции также является парабола, ветви параболы направлены вниз.
Найдем абсциссу вершины параболы х°₀=1/6
Точка принадлежит рассматриваемому интервалу, значит наибольшее значение функция принимает в точке 1/6
у(1/6)=-3·(1/6)²+1/6+2=2 + 1/12

Наибольшее значение функции при х=1/6 равно 2 + 1/12=25/12

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = 2x - 3x² + |x - 2|, мы можем разделить задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найти критические точки Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует. Для начала найдем производную функции y по x.

y = 2x - 3x² + |x - 2| y' = 2 - 6x + sign(x - 2)

Здесь sign(x - 2) - это функция знака, которая равна 1, если x > 2, -1, если x < 2, и 0, если x = 2.

Чтобы найти критические точки, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

2 - 6x + sign(x - 2) = 0

Решение этого уравнения даст нам критические точки функции.

Шаг 2: Анализировать поведение функции в окрестности критических точек После того, как мы найдем критические точки, мы можем проанализировать поведение функции в их окрестности, чтобы определить наибольшее значение функции.

Шаг 3: Определить наибольшее значение функции Используя информацию о критических точках и поведении функции в их окрестности, мы сможем определить наибольшее значение функции y = 2x - 3x² + |x - 2|.

Теперь давайте перейдем к каждому из этих шагов для решения задачи.

Шаг 1: Найти критические точки

Мы решаем уравнение:

2 - 6x + sign(x - 2) = 0

Для решения этого уравнения, нам нужно рассмотреть несколько случаев:

Случай 1: x > 2 В этом случае, уравнение примет вид:

2 - 6x + 1 = 0

Решая это уравнение, мы получаем:

-6x + 3 = 0 -6x = -3 x = 1/2

Таким образом, при x > 2, у нас есть критическая точка x = 1/2.

Случай 2: x < 2 В этом случае, уравнение примет вид:

2 - 6x - 1 = 0

Решая это уравнение, мы получаем:

-6x + 1 = 0 -6x = -1 x = 1/6

Таким образом, при x < 2, у нас есть критическая точка x = 1/6.

Случай 3: x = 2 В этом случае, уравнение примет вид:

2 - 6x + 0 = 0

Решая это уравнение, мы получаем:

-6x + 2 = 0 -6x = -2 x = 1/3

Таким образом, при x = 2, у нас есть критическая точка x = 1/3.

Таким образом, у нас есть три критические точки: x = 1/6, x = 1/2 и x = 1/3.

Шаг 2: Анализировать поведение функции в окрестности критических точек

Чтобы проанализировать поведение функции в окрестности критических точек, мы можем построить график функции или использовать таблицу значений.

Учитывая, что функция содержит абсолютное значение, мы можем рассмотреть случаи, когда x - 2 > 0 и x - 2 < 0 отдельно.

Случай 1: x - 2 > 0 В этом случае, функция примет вид:

y = 2x - 3x² + (x - 2)

Случай 2: x - 2 < 0 В этом случае, функция примет вид:

y = 2x - 3x² - (x - 2)

Анализируя поведение функции в окрестности критических точек, мы можем определить, что наибольшее значение функции будет соответствовать максимальной точке на графике функции или наибольшему значению в таблице значений.

Шаг 3: Определить наибольшее значение функции

Для определения наибольшего значения функции y = 2x - 3x² + |x - 2|, мы можем использовать информацию о критических точках и поведении функции в их окрестности.

По анализу графика или таблицы значений, мы можем определить, что наибольшее значение функции будет соответствовать наибольшей точке на графике или наибольшему значению в таблице.

К сожалению, без конкретного диапазона значений x, я не могу точно определить наибольшее значение функции. Если вы можете предоставить диапазон значений x, я смогу помочь вам определить наибольшее значение функции в этом диапазоне.