Question

Помогите решить уравнение 2tg(pi/4 - x/2) = -1

Answer 1

$2tg(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})=-1\\\\tg(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})=-\frac{1}{2}\\\\\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=-arctg\frac{1}{2}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+arctg\frac{1}{2}-\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{2}+2arctg\frac{1}{2}-2\pi n\; ,\; n\in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения мы будем использовать свойства тангенса и замену переменной.

Исходное уравнение: 2tg(pi/4 - x/2) = -1

Сначала приведем уравнение к виду, где будет только tg(x/2):

tg(pi/4 - x/2) = -1/2

Поскольку tg(pi/4 - x/2) = tg(pi/4 + x/2), мы можем заменить x на -x:

tg(pi/4 + x/2) = -1/2

Заменим tg(x/2) на новую переменную t:

t = tg(x/2)

Теперь уравнение примет вид:

tg(pi/4 + 2t) = -1/2

Применим тангенс к обеим сторонам уравнения:

pi/4 + 2t = arctg(-1/2)

arctg(-1/2) = -pi/6 (это значение можно найти в таблице значений функции арктангенса)

Теперь решим уравнение относительно t:

pi/4 + 2t = -pi/6

2t = -pi/6 - pi/4

2t = -3pi/12 - 4pi/12

2t = -7pi/12

t = -7pi/24

Теперь найдем значение x, используя замену переменной:

tg(x/2) = -7pi/24

x/2 = arctg(-7pi/24)

Так как arctg(-7pi/24) не является стандартным значением, мы оставим его в таком виде.

Таким образом, решение исходного уравнения 2tg(pi/4 - x/2) = -1:

x/2 = arctg(-7pi/24)

x = 2 * arctg(-7pi/24)