Question

Срочно Вычислите пределы: в) lim(x→-2) sin(x+2)÷x+2 е) lim(x→0) (1+3x)^1/x з) lim(x→0) ((2+x)/2)^4/x

Answer 1

$1)\; \; \lim\limits _{x \to -2} \frac{sin(x+2)}{x+2}= \lim\limits _{x \to -2}\frac{x+2}{x+2} =1\\\\2)\; \; \lim\limits _{x \to 0} (1+3x)^{ \frac{1}{x}}= \lim\limits _{x \to 0}\Big ((1+3x)^{ \frac{1}{3x} }\Big )^{3}=e^3\\\\3) \lim\limits _{x \to 0}\Big (\frac{2+x}{2}\Big )^{ \frac{4}{x} } = \lim\limits _{x \to 0} \Big (\Big (1+ \frac{x}{2} \Big )^{ \frac{2}{x} }\Big )^{2}=e^2$

Answer 2

Task/25372995
--------------------
см фото
ничего нового

Answer 3

Привет! Я могу помочь с вычислением данных пределов. Давай рассмотрим их по очереди:

a) lim(x→-2) sin(x+2)/(x+2)

Для вычисления этого предела можем воспользоваться теоремой Лопиталя, которая гласит, что если предел функций f(x) и g(x) равен 0 или бесконечности при x стремящемся к a, и предел их производных f'(x) и g'(x) существует и ненулевой, тогда предел отношения f(x)/g(x) при x стремящемся к a равен пределу отношения производных f'(x)/g'(x) при x стремящемся к a.

В данном случае, у нас f(x) = sin(x+2) и g(x) = (x+2). Известно, что предел sin(x)/x при x стремящемся к 0 равен 1. Поэтому, можем заметить, что при x стремящемся к -2, sin(x+2)/(x+2) стремится к sin(-2)/(-2), то есть -sin(2)/2.

Ответ: lim(x→-2) sin(x+2)/(x+2) = -sin(2)/2.

b) lim(x→0) (1+3x)^(1/x)

Для вычисления этого предела воспользуемся свойством экспоненты. Заметим, что (1+3x)^(1/x) = e^(ln(1+3x)/(x)). Теперь, разложим ln(1+3x) в ряд Тейлора в окрестности точки x=0:

ln(1+3x) = ln(1) + 3x - (3x)^2/2 + (3x)^3/3 - ...

Получим:

(1+3x)^(1/x) = e^(ln(1+3x)/(x)) = e^((3x - (3x)^2/2 + (3x)^3/3 - ...)/(x)).

Раскрывая скобки и устремляя x к 0, большинство слагаемых сокращаются, и остается только слагаемое 3. Поэтому:

lim(x→0) (1+3x)^(1/x) = e^3.

Ответ: lim(x→0) (1+3x)^(1/x) = e^3.

c) lim(x→0) ((2+x)/2)^(4/x)

Для вычисления этого предела можем воспользоваться тем же свойством экспоненты, что и в предыдущем пункте. Заметим, что ((2+x)/2)^(4/x) = e^(ln((2+x)/2)/(x)). Разложим ln((2+x)/2) в ряд Тейлора в окрестности точки x=0:

ln((2+x)/2) = ln(1 + (x/2)) = (x/2) - (x/2)^2/2 + (x/2)^3/3 - ...

Получим:

((2+x)/2)^(4/x) = e^(ln((2+x)/2)/(x)) = e^(((x/2) - (x/2)^2/2 + (x/2)^3/3 - ...)/(x)).

При устремлении x к 0, большинство слагаемых сокращаются, и остается только слагаемое 1/2. Поэтому:

lim(x→0) ((2+x)/2)^(4/x) = e^(1/2).

Ответ: lim(x→0) ((2+x)/2)^(4/x) = e^(1/2).

Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.