Question

Y=3/x^4 2x^2 исследуйте функцию на четность и найдите ее область определения

Answer 1

Задача записана не совсем чётко, поскольку между слогаемыми $\frac{3}{x^4}$ и $2x^2$ не поставлен никакой знак. Ну а поскольку арифметические знаки « * » и « : » в данном случае довольно бессмысленны, то скорее всего там « + » или « – ».

Поскольку основная проблема состоит в навыке определения чётности и нечётности функции и в поиске области её определения, то сосредоточимся именно на этих вопросах.

Чтобы уметь решать любые подобные задачи, решим аналогичную задачу:


*** $y = \frac{7}{x^2} + 3x^6$ – исследовать функцию на чётность и найти её область определения.


Функция является чётной, если $y(-x) = y(x)$ (I) ;

Иначе, если функция нечётна, то $y(-x) = -y(x)$ (II) ;

Иначе, если не выполняется ни условие (I) ни условие (II) – функция не является ни чётной, ни нечётной.

В данном случае по показателям степеней сразу же видно, что функция должна быть чётной.

Проверим это по формуле (I), подставив в неё « –x » вмеcто « x » :

$y(-x) = \frac{7}{ (-x)^2 } + 3(-x)^6 = \frac{7}{x^2} + 3x^6 = y(x)$ ;

Как видим, формула (I) полностью подтверждается.

ОТВЕТ(1) *** Значит функция чётная.

Область определения функции D(y) – это всё возможные значения x, которые можно подставить в заданную функцию.

В заданную функцию нельзя подставить только x=0, поскольку в этом случае возникает необходимость деления на 0, что невозможно.

ОТВЕТ(1) *** Область определения $D(f) = R$ \ {0} $= ( -\infty ; 0 )U(0 ; +\infty)$

Answer 2

Функция и ее область определения

Дана функция y = 3/x^4 + 2x^2. Чтобы найти область определения функции, нужно определить значения x, для которых функция определена и не принимает бесконечные значения.

Область определения функции y = 3/x^4 + 2x^2 будет состоять из всех действительных чисел, за исключением x = 0. Это связано с тем, что функция содержит дробь с переменной в знаменателе, и деление на ноль не определено.

Таким образом, область определения функции y = 3/x^4 + 2x^2 будет R \ {0}, где R обозначает множество всех действительных чисел, а \ {0} означает исключение значения 0 из этого множества.

Четность функции

Чтобы исследовать функцию на четность, нужно проверить, сохраняется ли функция свою форму при замене x на -x.

Для функции y = 3/x^4 + 2x^2, заменим x на -x и посмотрим, сохранится ли форма функции:

y(-x) = 3/(-x)^4 + 2(-x)^2

Упростим это выражение:

y(-x) = 3/x^4 + 2x^2

Мы видим, что функция y = 3/x^4 + 2x^2 сохраняет свою форму при замене x на -x. Это означает, что функция является четной.

Вывод

Таким образом, функция y = 3/x^4 + 2x^2 имеет область определения R \ {0} и является четной функцией.