Question

2sin^2+cos4x=02cos^2x-sinx-2=0

Answer 1

1. 2sin²x+cos4x=0

$\frac{2(1-cos2x)}{2}$ + 2cos²2x -1=0

1-cos2x+2cos²2x-1=0

2cos²2x - cos2x=0

cos2x(2cos2x-1)=0

cos 2x₁=0 ⇒ 2x=π/2+πk ⇒ x=π/4+πk/2, где к∈Ζ

cos2x₂=1/2 ⇒2x=±π/3+2πn ⇒x=±π/6+πn, к∈Ζ

ответ - π/4+πk/2, где к∈Ζ и ±π/6+πn, к∈Ζ

 

 

 

 

Answer 2

Для начала решим уравнение 2sin^2x + cos(4x) = 0.

Решение уравнения 2sin^2x + cos(4x) = 0

Для начала заметим, что \( cos(4x) \) может быть представлено через \( cos^2x \) и \( sin^2x \) с помощью формулы двойного угла: \[ cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1 = 2(2cos^2(x) - 1)^2 - 1 = 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1 \]

Теперь подставим это выражение в уравнение: \[ 2sin^2x + 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1 = 0 \] \[ 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 2sin^2x + 1 = 0 \]

Теперь использовав замену \( y = cos^2x \), уравнение примет вид: \[ 8y^2 - 8y + 2(1 - y) + 1 = 0 \] \[ 8y^2 - 8y + 2 - 2y + 1 = 0 \] \[ 8y^2 - 10y + 3 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ y = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4*8*3}}{2*8} \] \[ y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{16} \] \[ y = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{16} \] \[ y = \frac{10 \pm 2}{16} \]

Итак, получаем два значения \( y \): \[ y_1 = \frac{10 + 2}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \] \[ y_2 = \frac{10 - 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]

Теперь найдем соответствующие значения \( x \): \[ cos^2x = \frac{3}{4} \] \[ cosx = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

и

\[ cos^2x = \frac{1}{2} \] \[ cosx = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, получаем четыре решения для уравнения \( 2sin^2x + cos(4x) = 0 \): \[ x_1 = \frac{\pi}{6} \] \[ x_2 = \frac{5\pi}{6} \] \[ x_3 = \frac{\pi}{4} \] \[ x_4 = \frac{3\pi}{4} \]

Решение уравнения 2cos^2x - sinx - 2 = 0

Теперь перейдем к решению уравнения \( 2cos^2x - sinx - 2 = 0 \).