Question

Решите уравнение 2sin^2x-3√2sinx+2=0

Answer 1

2sin²x -3√2·sinx +2 = 0
  sinx = [3√2+/-√(18 -16)]/4 = (3√2 +/- √2)/4
     a)   sinx = √2/2   ⇒   x = (-1)^k ·π/4+πk ;  k∈Z
     b)   sinx = √2 >1    не  уд.   т.к.  I sinx I ≤1
 Ответ:  (-1)^k · π/4 + πk   ;  k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения 2sin^2x - 3√2sinx + 2 = 0 давайте введем замену, чтобы упростить его решение. Обозначим sinx за t. Тогда уравнение примет вид 2t^2 - 3√2t + 2 = 0.

Решение квадратного уравнения

Для решения этого квадратного уравнения можем воспользоваться квадратным трехчленом или дискриминантом.

Метод дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения at^2 + bt + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет ровно один действительный корень. Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня.

Вычисление дискриминанта

Для уравнения 2t^2 - 3√2t + 2, коэффициенты a = 2, b = -3√2, c = 2. Вычислим дискриминант: D = (-3√2)^2 - 4*2*2 = 18 - 16 = 2.

Так как D > 0, у нас будет два действительных корня.

Нахождение корней

Для нахождения корней воспользуемся формулой квадратного уравнения: t = (-b ± √D) / (2a).

t1 = (-(-3√2) + √2) / (2*2) = (3√2 + √2) / 4 = √2, t2 = (-(-3√2) - √2) / (2*2) = (3√2 - √2) / 4 = √2/4.

Обратная замена

Теперь, когда мы нашли значения t, мы можем вернуться к нашей исходной переменной sinx.

Итак, мы нашли, что sinx = √2 или sinx = √2/4.

Ответ

Таким образом, уравнение 2sin^2x - 3√2sinx + 2 = 0 имеет два решения: 1) sinx = √2, 2) sinx = √2/4.