Question

применение производной к исследованию функций и построению графиков у=(х-3)^2+2

Answer 1

f(x)=(x-3)^2+2

Анализ производной позволит узнать где находяться точки экстреумума, а также где функция возрастает а где убывает:

f(x)'=2(x-3)

f(x)'=0 <=> 2(x-3)=0 => x=3

смотрим знаки производное методом интервалов до x=3 и после : если знаки разные, т это точка экстремума, причем если знак меняется с + на -, то это точка максимума, и наоборот. Соответственно график функции убывает до x=3  и возрастает после него. Точка экстремума (3; 2)- точка минимума

Answer 2

Для начала рассмотрим функцию \( y = (x-3)^2 + 2 \) и применим производные для исследования этой функции и построения её графика.

Нахождение производной

Для исследования функции и построения её графика нам понадобится найти производную этой функции. Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности, используя известные правила дифференцирования.

1. Найдем производную \( (x-3)^2 \): \[ \frac{d}{dx} (x-3)^2 = 2(x-3) \cdot \frac{d}{dx} (x-3) = 2(x-3) \]

2. Найдем производную константы \( 2 \): \[ \frac{d}{dx} 2 = 0 \]

Теперь мы можем записать производную функции \( y = (x-3)^2 + 2 \) как: \[ \frac{dy}{dx} = 2(x-3) \]

Анализ производной

Теперь, когда у нас есть производная функции \( y = (x-3)^2 + 2 \), мы можем использовать её для анализа поведения функции.

1. Нахождение экстремумов Экстремумы (минимумы и максимумы) функции находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для функции \( y = (x-3)^2 + 2 \) мы можем решить уравнение \( 2(x-3) = 0 \), чтобы найти точки экстремума.

Решая уравнение, получаем: \[ 2(x-3) = 0 \implies x = 3 \] Получаем, что точка экстремума функции \( y = (x-3)^2 + 2 \) находится в точке \( x = 3 \).

2. Исследование выпуклости и вогнутости Мы можем также использовать вторую производную, чтобы определить, является ли точка экстремума минимумом или максимумом, а также исследовать выпуклость и вогнутость функции.

Вторая производная функции \( y = (x-3)^2 + 2 \) будет равна: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = 2 \] Поскольку вторая производная положительна для всех значений \( x \), функция будет вогнута вверх.

Построение графика

Теперь у нас есть достаточно информации, чтобы построить график функции \( y = (x-3)^2 + 2 \).

График этой функции будет представлять собой параболу, с вершиной в точке \( (3, 2) \), и направленную вверх, поскольку вся функция находится выше оси \( x \) из-за слагаемого 2.