Question

Решить уравнение sinx-cosx=4sinxcos^2x

Answer 1

Sinx-cosx=4sinx(1-sin^2x)
sinx-cosx=4sinx-4sin^3x
4sin^3x-3sinx-cosx=0
sin3x+cosx=0 sin3x+sin(П/2-x)=0
2sin(x+П/4)cos(2x-П/4)=0
x+П/4=Пk
x=Пk-П/4
2x-п/4=П/2+2Пk  x-П/8=П/4+Пk  x=3П/8+Пk

Answer 2

Для решения уравнения sinx - cosx = 4sinxcos^2x, мы можем использовать различные методы, такие как алгебраические преобразования и тригонометрические тождества.

Преобразование уравнения

Давайте начнем с преобразования уравнения, чтобы упростить его форму. Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы заменить некоторые тригонометрические функции на более простые выражения.

sinx - cosx = 4sinxcos^2x

Мы можем заменить cos^2x на 1 - sin^2x, используя тождество cos^2x = 1 - sin^2x:

sinx - cosx = 4sinx(1 - sin^2x)

Упрощение уравнения

Теперь, когда мы заменили cos^2x на 1 - sin^2x, давайте продолжим упрощение уравнения.

sinx - cosx = 4sinx - 4sin^3x

Факторизация

Для того чтобы решить уравнение, мы можем попытаться факторизовать его и найти значения x, при которых уравнение равно нулю.

sinx - cosx - 4sinx + 4sin^3x = 0

Мы можем вынести sinx за скобки:

sinx(1 - 4 + 4sin^2x) - cosx = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые равны нулю:

sinx = 0 или 1 - 4 + 4sin^2x - cosx = 0

Решение первого уравнения

Давайте начнем с решения первого уравнения sinx = 0. При каких значениях x sinx равен нулю?

Очевидно, что sinx равен нулю при x = 0, x = pi, x = 2pi, и т.д. Это происходит, потому что sin(x) равен нулю в этих точках.

Решение второго уравнения

Теперь перейдем ко второму уравнению 1 - 4 + 4sin^2x - cosx = 0. Для упрощения этого уравнения, мы можем заменить cosx на sqrt(1 - sin^2x), используя тождество sin^2x + cos^2x = 1.

1 - 4 + 4sin^2x - sqrt(1 - sin^2x) = 0

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной, sinx. Мы можем решить это уравнение численно или графически, чтобы найти значения x, удовлетворяющие этому уравнению.

Численное решение

Для численного решения этого уравнения, мы можем использовать методы численного анализа, такие как метод Ньютона или метод половинного деления. Эти методы позволяют найти приближенные значения x, при которых уравнение равно нулю.

Графическое решение

Другим способом решения этого уравнения является графический метод. Мы можем построить график функции y = 1 - 4 + 4sin^2x - sqrt(1 - sin^2x) и найти точки пересечения с осью x.

Заключение

В данном уравнении sinx - cosx = 4sinxcos^2x, мы можем использовать алгебраические преобразования и тригонометрические тождества для упрощения уравнения. Затем мы можем решить уравнение численно или графически, чтобы найти значения x, удовлетворяющие данному уравнению.