Question

найти значение выражения (а\б + б\а + 2):(а+б)² при а=√2-1 и б=√2+1

Answer 1

$\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2}{(a+b)^2}=\frac{\frac{a^2+b^2}{ab}+2}{(a+b)^2}$=$\frac{\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}}{(a+b)^2}=\frac{\frac{(a+b)^2}{ab}}{(a+b)^2}=\frac{1}{ab}$

$a=\sqrt{2}-1, \ b=\sqrt{2}+1$ 

Подставляем и получается:

$\frac{1}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}$

В знаменателе формула разности квадратов. $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

По этой формуле получаем:

$\frac{1}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=\frac{1}{(\sqrt2)^2-1^2}=\frac{1}{2-1}=1$

 

Ответ: 1 

Answer 2

(a/b + b/a + 2)/(a+b)^2

после приведения к общему знаменателю первая скобка сворачивается как квадрат суммы и сокращается со второй

 [(a^2 + 2ab + b^2)/ab]/(a+b)^2 = 1/ab  после подстановки чисел получим разность квадратов

1/(√2-1)(√2+1) = 1/(2 - 1) = 1

 

Answer 3

Для того чтобы найти значение выражения, подставим данные значения переменных:

а = √2 - 1 б = √2 + 1

Теперь заменим эти значения в выражении:

(а/б + б/а + 2)/(а + б)²

= ((√2 - 1)/(√2 + 1) + (√2 + 1)/(√2 - 1) + 2)/((√2 - 1) + (√2 + 1))²

= ((√2 - 1)² + (√2 + 1)² + 2(√2 - 1)(√2 + 1))/((√2 - 1) + (√2 + 1))²

= ((2 - 2√2 + 1) + (2 + 2√2 + 1) + 2(√2 - 1)(√2 + 1))/(2√2)²

= (4 + 4√2 + 2(√2 - 1)(√2 + 1))/(2√2)²

= (4 + 4√2 + 2(2 - 1))/(2√2)²

= (4 + 4√2 + 4 - 2)/(2√2)²

= (8 + 4√2)/(2√2)²

= (8 + 4√2)/(4√2)

= (2 + √2)/√2

= (2 + √2)(√2)/(√2)(√2)

= (2√2 + 2)/(2)

= √2 + 1

Таким образом, значение выражения (а/б + б/а + 2)/(а + б)² при а = √2 - 1 и б = √2 + 1 равно √2 + 1.