Question

8sin^2x+5sinx*cosx+2cos^2x=0

Answer 1

8tg^2x+5tgx+2=0
замена переменной, tgx=t
8t^2+5t+2=0
Дискриминант=25-64=-39
корней нет

Answer 2

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно функции синус и косинус. Чтобы решить его, мы можем использовать подстановку тригонометрических тождеств или применить методы решения квадратных уравнений.

Подстановка тригонометрических тождеств

Мы можем заменить $\sin^2x$ и $\cos^2x$ на выражения, используя тригонометрические тождества $\sin^2x = 1 - \cos^2x$ и $\cos^2x = 1 - \sin^2x$. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$8(1-\cos^2x) + 5\sin x\cos x + 2(1-\sin^2x) = 0$

$8 - 8\cos^2x + 5\sin x\cos x + 2 - 2\sin^2x = 0$

$10 - 8\cos^2x - 2\sin^2x + 5\sin x\cos x = 0$

Применение методов решения квадратных уравнений

Теперь мы можем рассмотреть данное уравнение как квадратное уравнение относительно переменных $\cos x$ и $\sin x$. Пусть $a = -8$, $b = 5$, и $c = -2$. Тогда уравнение примет следующий вид:

$a\cos^2x + b\sin x\cos x + c\sin^2x = 0$

$-8\cos^2x + 5\sin x\cos x - 2\sin^2x = 0$

Мы можем использовать стандартную формулу для решения квадратных уравнений $ax^2 + bx + c = 0$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $a = -8$, $b = 5\sin x$, и $c = -2\sin^2x$:

$\cos x = \frac{-5\sin x \pm \sqrt{(5\sin x)^2 - 4(-8)(-2\sin^2x)}}{2(-8)}$

$\cos x = \frac{-5\sin x \pm \sqrt{25\sin^2x - 64\sin^2x}}{-16}$

$\cos x = \frac{-5\sin x \pm \sqrt{-39\sin^2x}}{-16}$

Так как $\sqrt{-39\sin^2x}$ является мнимым числом, у нас нет реальных решений для $\cos x$.

Вывод

Уравнение $8\sin^2x + 5\sin x\cos x + 2\cos^2x = 0$ не имеет реальных решений для переменных $\sin x$ и $\cos x$.