Question

Докажите, что 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...+1/71-1/72<1

Answer 1

1/2>1/3
1/3<1/4
общий член 1-1/n+1/n+1,n∈z
если от 1 отнимаем большее число и прибавляем меньшее то результат R<1

Answer 2

Давайте начнём с того, что разложим данное выражение на отдельные дроби и посмотрим на их сумму:

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... + 1/71 - 1/72

Теперь мы можем объединить соответствующие дроби в пары:

(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + ... + (1/71 - 1/72)

Теперь выразим каждую из этих пар в виде общей дроби:

(1 - 1/2) = (2/2 - 1/2) = 1/2 (1/3 - 1/4) = (4/12 - 3/12) = 1/12 (1/5 - 1/6) = (6/30 - 5/30) = 1/30 ... (1/71 - 1/72) = (72/5148 - 71/5148) = 1/5148

Теперь сложим эти дроби:

1/2 + 1/12 + 1/30 + ... + 1/5148

Чтобы упростить вычисления, мы можем заметить, что каждая дробь является частью гармонического ряда. Гармонический ряд – это ряд, в котором каждый член является обратным к натуральному числу. Этот ряд может быть представлен в виде:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n

Известно, что гармонический ряд сходится, но не ограничен. То есть сумма его членов может быть бесконечно большой, но всё равно конечной.

Теперь вернемся к исходному выражению:

1/2 + 1/12 + 1/30 + ... + 1/5148 < 1

Хотя гармонический ряд сам по себе неограничен, мы можем заметить, что мы берем только конечное число членов этого ряда, начиная с 1/2. Поэтому сумма членов, которую мы взяли, всё же ограничена и, следовательно, меньше 1.

Таким образом, мы доказали, что:

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... + 1/71 - 1/72 < 1