Question

Решите уравнение: cos^²x=cos 2x Подробно распишите решение, пожалуйста.

Answer 1

Cos²x-cos2x=0
cos²x-cos²x+sin²x=0
sin²x=0
sinx=0
x=πn, n€Z

Answer 2

Уравнение: $\cos^2x = \cos 2x$

Для решения данного уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Давайте начнем:

1. Используем тригонометрическое тождество $\cos 2x = 2\cos^2x - 1$. Заменим $\cos 2x$ в уравнении:

$\cos^2x = 2\cos^2x - 1$

2. Теперь приведем уравнение к виду $0 = ...$:

$0 = 2\cos^2x - \cos^2x - 1$

$0 = \cos^2x - 1$

3. Перенесем $1$ на другую сторону:

$\cos^2x - 1 = 0$

4. Факторизуем левую часть уравнения:

$(\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$

5. Разобьем полученное уравнение на два уравнения:

$\cos x - 1 = 0$ или $\cos x + 1 = 0$

6. Решим каждое уравнение отдельно:

Уравнение 1: $\cos x - 1 = 0$

$\cos x = 1$

Уравнение 2: $\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -1$

7. Найдем значения $x$ для каждого уравнения, используя обратные тригонометрические функции:

Для уравнения 1: $\cos x = 1$

$x = \cos^{-1} 1$

$x = 0 + 2\pi n$, где $n$ - целое число

Для уравнения 2: $\cos x = -1$

$x = \cos^{-1} (-1)$

$x = \pi + 2\pi n$, где $n$ - целое число

Таким образом, решения уравнения $\cos^2x = \cos 2x$ равны:

$x = 0 + 2\pi n$, где $n$ - целое число

и

$x = \pi + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Примечание: Здесь $n$ представляет собой целое число, которое может быть положительным, отрицательным или нулем. Это позволяет учесть все возможные значения $x$, которые удовлетворяют уравнению.