Question

Для каждого a>0 найдите площадь фигуры,ограниченной графиком функции y=-x^3+ax^2 и осью абсцисс.При каких значениях a эта площадь равна 1 1/3?

Answer 1

Во-первых, найдем границы площади, то есть точки, в которых график пересекает ось абсцисс.
-x^3 + ax^2 = 0
x^2*(-x + a) = 0
x1 = x2 = 0, x3 = a
Значит, в точке 0 у нас экстремум, а в точке а - пересечение.
График может иметь один из двух видов, показанных на рисунке, в зависимости от знака числа а.
В обоих случаях площадь - это интеграл.
1) a > 0
S = Int(0, a) (-x^3 + ax^2) dx = (-x^4/4 + ax^3/3) | (0, a) =
= -a^4/4 + a*a^3/3 + 0 - 0 = a^4*(-1/4 + 1/3) = a^4/12 = 4/3
a^4 = 12*4/3 = 16
a = 2
2) a < 0
Здесь область находится под осью Ох, поэтому интеграл получится отрицательным. Но площадь положительна, поэтому берем модуль.
S = Int(a, 0) (-x^3 + ax^2) dx = |(-x^4/4 + ax^3/3)| | (a, 0) =
= |-0 + 0 + a^4/4 - a*a^3/3| = |a^4*(1/4 - 1/3)| = |a^4/12| = 4/3
a^4 = 16
a = -2

Answer 2

Для решения этой задачи нужно найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс, а затем использовать интеграл для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции и осью абсцисс.

1. Найдем точки пересечения графика функции y = -x^3 + ax^2 с осью абсцисс. Для этого приравняем y к нулю: -x^3 + ax^2 = 0 x^2(-x + a) = 0 x = 0 или x = a

Таким образом, график функции пересекает ось абсцисс в точках (0,0) и (a,0).

2. Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью абсцисс. Площадь можно найти с помощью определенного интеграла: S = ∫[0,a] (-x^3 + ax^2) dx

Раскроем скобки и проинтегрируем: S = ∫[0,a] (-x^3 + ax^2) dx = [-x^4/4 + ax^3/3] [0,a] = (-a^4/4 + a^4/3) - (0) = a^4/12

3. Теперь найдем значение параметра a, при котором площадь равна 1 1/3. Подставим значение площади S = 1 1/3 в формулу площади и решим полученное уравнение: a^4/12 = 1 1/3 a^4/12 = 4/3 a^4 = 16 a = ∛16 a = 2

Таким образом, при значении параметра a = 2 площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = -x^3 + 2x^2 и осью абсцисс, равна 1 1/3.