Question

Упростите sin^2x-tg2actg2a sin^2a+sin^2acos^2a+cos^2a

Answer 1

$sin^2x-tg2x\cdot ctg2x=sin^2x-1=-(1-sin^2x)=-cos^2x \\\\\\sin^2a+sin^2a\cdot cos^2a+cos^2a= (sin^2a+cos^2a)+(sina\cdot cosa)^2=\\\\=1+(\frac{1}{2}sin2a)^2=1+\frac{1}{4}\cdot sin^22a$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение по частям и упростим его.

Выражение: sin^2x - tg^2(2actg(2a)) + sin^2a + sin^2a*cos^2a + cos^2a

Первый шаг: Упростим tg^2(2actg(2a)).

Тангенс двойного угла может быть упрощен с использованием формулы:

tg(2θ) = (2tg(θ))/(1 - tg^2(θ))

Здесь θ = actg(2a), поэтому мы можем записать:

tg(2actg(2a)) = (2tg(actg(2a)))/(1 - tg^2(actg(2a)))

Чтобы упростить это дальше, давайте воспользуемся определением арктангенса:

tg(actg(x)) = x

Применим это к нашему уравнению:

tg(2actg(2a)) = (2 * 2a)/(1 - (2a)^2)

tg^2(2actg(2a)) = (2 * 2a)^2/(1 - (2a)^2)^2

tg^2(2actg(2a)) = (4a^2)/(1 - 4a^2 + 4a^4)

Теперь, давайте подставим это обратно в исходное выражение:

sin^2x - (4a^2)/(1 - 4a^2 + 4a^4) + sin^2a + sin^2a*cos^2a + cos^2a

Второй шаг: Упростим sin^2a*cos^2a.

Мы можем использовать тригонометрическую идентичность sin^2θ * cos^2θ = (1/4) * sin^2(2θ).

Применяя это к нашему уравнению, получаем:

sin^2a * cos^2a = (1/4) * sin^2(2a)

Теперь, давайте подставим это обратно в исходное выражение:

sin^2x - (4a^2)/(1 - 4a^2 + 4a^4) + sin^2a + (1/4) * sin^2(2a) + cos^2a

Третий шаг: Упростим sin^2x + sin^2a + cos^2a.

Используя тригонометрическую идентичность sin^2θ + cos^2θ = 1, мы можем упростить выражение:

sin^2x + sin^2a + cos^2a = 1 + sin^2x

Теперь, давайте подставим это обратно в исходное выражение:

1 + sin^2x - (4a^2)/(1 - 4a^2 + 4a^4) + (1/4) * sin^2(2a)

Четвёртый шаг: Упростим (1 - 4a^2 + 4a^4).

Мы можем заметить, что это является квадратом разности:

(1 - 2a^2 + 2a^4) = (1 - a^2)^2

Теперь, давайте подставим это обратно в исходное выражение:

1 + sin^2x - (4a^2)/((1 - a^2)^2) + (1/4) * sin^2(2a)

Это более упрощенный вид данного выражения.