Question

Утверждают, что число делится нацело на 11. Так ли это?

Answer 1

Нет, не так. 

2^10 = 1024 = 93 * 11 + 1 - даёт остаток 1 при делении на 11, поэтому 2^2017 = (2^201)^10 * 2^7 дает такой же остаток при делении на 11, что и 2^7 = 128 = 11^2 + 7, т.е. 7.

3^5 = 22 * 11 + 1 - даёт остаток 1 при делении на 11, поэтому 3^2017 = (3^5)^403 * 3^2 дает такой же остаток при делении на 11, что и 3^2 = 9, т.е. 9.

Тогда сумма 2^2017 + 3^2017 даёт такой же остаток при делении на 11, что и 7 + 9 = 16, т.е. 5, и НЕ делится на 11. 

Answer 2

Для того чтобы определить, делится ли число нацело на 11, нужно проверить, является ли сумма его цифр, взятых с чередующимся знаком плюс и минус, кратной 11.

Например, рассмотрим число 12345. Сумма его цифр с чередующимся знаком будет равна: 1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3. Это число не кратно 11, поэтому число 12345 не делится нацело на 11.

Однако, это правило не является абсолютным и существуют исключения. Например, число 121 делится нацело на 11, хотя сумма его цифр равна 4.

Таким образом, чтобы утверждать, что число делится нацело на 11, необходимо проверить сумму его цифр с чередующимся знаком плюс и минус. Если эта сумма кратна 11, то число действительно делится нацело на 11. В противном случае, число не делится нацело на 11.