Question

Докажите, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел кратно 8

Answer 1

В любых 4 последовательных числах есть 2 числа делящихся на 2 и 1 на 4
2*4=8 а если произведение хотя бы одного числа делиться на число нам нужное

Answer 2

Ответ: Произведение четырёх последовательных натуральных чисел кратно 8, потому что среди них обязательно есть два чётных числа, одно из которых кратно 4. Докажем это утверждение.

Пусть n - натуральное число. Тогда четыре последовательных натуральных числа можно записать как n, n+1, n+2, n+3. Заметим, что сумма двух последовательных чисел всегда чётна, то есть n+(n+1) и (n+2)+(n+3) - чётные числа. Тогда произведение этих сумм равно

(n+(n+1))\cdot((n+2)+(n+3)) = (2n+1)\cdot(2n+5) = 4n^2 + 12n + 5

Это произведение кратно 4, так как первое слагаемое 4n^2 кратно 4, а второе слагаемое 12n кратно 4. Тогда произведение четырёх последовательных чисел равно

n\cdot(n+1)\cdot(n+2)\cdot(n+3) = \frac{(n+(n+1))\cdot((n+2)+(n+3))}{4}\cdot 4

Это произведение кратно 8, так как первый множитель кратен 4, а второй множитель - чётное число. Таким образом, мы доказали, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел кратно 8.