Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=0.8x^5-4x^3 на отрезке [-1;2]

Answer 1

.................................

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 0.8x^5 - 4x^3 на отрезке [-1;2], необходимо найти точки экстремума и значения функции в этих точках.

1. Найдем точки экстремума, приравняв производную функции f'(x) к нулю и решив полученное уравнение: f'(x) = 4x^4 - 12x^2 = 0

Выносим общий множитель: 4x^2(x^2 - 3) = 0

Таким образом, получаем два корня: x1 = 0 x2 = √3

2. Для определения, являются ли найденные точки экстремума максимумами или минимумами, проведем исследование знаков производной f'(x) на интервалах между корнями и вне отрезка [-1;2]:

a) Для интервала (-∞; -1): Выберем произвольную точку x = -2: f'(-2) = 4(-2)^4 - 12(-2)^2 = 64 - 48 = 16 > 0 Таким образом, на этом интервале функция возрастает.

b) Для интервала (-1; 0): Выберем произвольную точку x = -0.5: f'(-0.5) = 4(-0.5)^4 - 12(-0.5)^2 = 0.5 > 0 Таким образом, на этом интервале функция также возрастает.

c) Для интервала (0; √3): Выберем произвольную точку x = 1: f'(1) = 4(1)^4 - 12(1)^2 = 4 - 12 = -8 < 0 Таким образом, на этом интервале функция убывает.

d) Для интервала (√3; 2): Выберем произвольную точку x = 1.5: f'(1.5) = 4(1.5)^4 - 12(1.5)^2 = 20.25 - 27 = -6.75 < 0 Таким образом, на этом интервале функция также убывает.

3. Теперь найдем значения функции f(x) в найденных точках экстремума и на концах отрезка [-1;2]:

a) Для x = -1: f(-1) = 0.8(-1)^5 - 4(-1)^3 = -0.8 + 4 = 3.2

b) Для x = 0: f(0) = 0.8(0)^5 - 4(0)^3 = 0

c) Для x = √3: f(√3) = 0.8(√3)^5 - 4(√3)^3 ≈ 2.18

d) Для x = 2: f(2) = 0.8(2)^5 - 4(2)^3 = 6.4 - 32 = -25.6

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-1;2] равно 3.2, а наименьшее значение равно -25.6.