Question

Доказать, что (2 в 55 степени) + 1, кратно 33Помогите поэалуйста

Answer 1

Надо доказать, что 2⁵⁵ + 1 делится на 32

33 = 32 + 1 = 2⁵ + 1

Пусть 2⁵ = х, тогда

2⁵⁵ + 1 = х¹¹ + 1

2⁵ + 1 = х + 1

Разделим х¹¹ + 1 на х + 1

(х¹¹ + 1):(х + 1) = х¹⁰ - х⁹ + х⁸ - х⁷ + х⁶ - х⁵ + х⁴ - х³ + х² - х

Таким образом,

(х¹¹ + 1) = (х + 1)·( х¹⁰ - х⁹ + х⁸ - х⁷ + х⁶ - х⁵ + х⁴ - х³ + х² - х)

или

(2⁵⁵ + 1) = (2⁵ + 1)·( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)

или

(2⁵⁵ + 1) = 33·( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)

и, окончательно

(2⁵⁵ + 1):33 =( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵)

Мы видим, что при делении (2⁵⁵ + 1):33 получается целое число

( 2⁵⁰ - 2⁴⁵ + 2⁴⁰ - 2³⁵ + 2³⁰ - 2²⁵ + 2²⁰ - 2¹⁵ + 2¹⁰ - 2⁵), т.е (2⁵⁵ + 1)делится на 33, что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства, что число (2 в степени 55) + 1 кратно 33, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:

Проверим, что утверждение верно для начального значения n = 1. (2 в степени 1) + 1 = 2 + 1 = 3. 3 не является кратным 33, поэтому базовый шаг не выполняется.

Предположение индукции:

Предположим, что утверждение верно для некоторого значения n = k, то есть (2 в степени k) + 1 кратно 33.

Индукционный шаг:

Докажем, что утверждение также верно для n = k + 1. Рассмотрим выражение (2 в степени (k + 1)) + 1. (2 в степени (k + 1)) + 1 = (2 в степени k * 2) + 1 = (2 в степени k * 2) + (2 в степени 0). Мы можем заметить, что (2 в степени k * 2) является кратным 33, так как предположение индукции говорит нам, что (2 в степени k) + 1 кратно 33. Также, (2 в степени 0) равно 1, что также является кратным 33.

Таким образом, мы можем записать выражение (2 в степени (k + 1)) + 1 в следующем виде: (2 в степени (k + 1)) + 1 = (