Question

2cos5x=1 решить тригонометрическое уравнение

Answer 1

$2cos5x=1\\cos5x=\frac{1}2\\\\5x=б\frac{\pi}3+2\pi n;n\in Z\\x=б\frac{\pi}{15}+\frac{2\pi n}5;n\in Z$

Answer 2

Чтобы решить данное тригонометрическое уравнение, давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Приведение уравнения к виду, где есть только одна функция тригонометрии. Мы можем использовать тригонометрическую тождественность, чтобы заменить функцию cos(5x) на другую функцию. В данном случае, нам понадобится тождество cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1. Давайте заменим 5x на θ и применим это тождество:

2cos(5x) = 1 2cos^2(5x) - 2cos(5x) - 1 = 0

Шаг 2: Построение уравнения в квадратном виде Теперь давайте заменим cos(5x) на новую переменную, скажем, y:

2y^2 - 2y - 1 = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью различных методов, например, квадратного дополнения, факторизации или формулы корней. В данном случае, давайте воспользуемся формулой корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 2, b = -2 и c = -1. Подставим эти значения и решим уравнение:

y = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2) y = (2 ± √(4 + 16)) / 4 y = (2 ± √20) / 4 y = (2 ± 2√5) / 4 y = (1 ± √5) / 2

Шаг 4: Возвращение к исходному уравнению Теперь, когда у нас есть значения y, давайте вернемся к исходному уравнению и решим его относительно x. Мы заменяем y на cos(5x) и решаем уравнение:

cos(5x) = (1 ± √5) / 2

Шаг 5: Нахождение значений x Теперь нам нужно найти значения x, удовлетворяющие уравнению cos(5x) = (1 ± √5) / 2. Для этого мы можем использовать инверсную функцию cos^-1:

5x = cos^-1((1 ± √5) / 2)

Теперь делим обе стороны на 5:

x = (1/5) * cos^-1((1 ± √5) / 2)

Таким образом, решение тригонометрического уравнения 2cos(5x) = 1 включает значения x, равные (1/5) * cos^-1((1 ± √5) / 2).

Примечание: Знак ± указывает на то, что у нас есть два возможных значения x, соответствующих каждому из двух возможных значений y.