Question

Умные люди пожалуйста помогите. почему область определкния и график функций y=корень 3 степени из x и y=x в степени 1/3 различны? это же одно и тоже. Прошу нормальное и понятное обьяснение

Answer 1

Это "почти" одно и то же...
степенная функция --это один из случаев функции в общем виде: 
у = х (в степени (n/m))   и, 
если вдруг окажется (m) числом четным, а (х) числом отрицательным, то мы получим корень четной степени из отрицательного числа, а это невозможно...
потому, чтобы описать свойства вообще всех функций вида: 
у = х (в степени (n/m)) полагают, что х > 0
даже =0 не рассматриваем, т.к. если показатель степени отрицательный, то все выражение попадает в знаменатель и не может быть =0
а вот кубический корень --это точно в числителе (из нуля извлекается) и из отрицательного числа тоже извлекается --ограничений никаких нет...
т.е. функция "корень кубический" -это очень похоже на конкретный частный случай более общего понятия --"степенной функции с дробно рациональным показателем степени"))) это другая функция, показатель степени точно нечетное число, знаменателя нет...
например, для функции у = 1 / ∛х  тоже ведь наступают ограничения...
потому для определенности говорим: ∛(-8) = -2 (существует),
а вот (-8)^(1/3) не определено, т.к. -8<0 --это другая функция, степенная с дробным показателем и показатель степени может быть любым...
(например, 1/4)))

Answer 2

Такие ограничения введены из следующих соображений. Когда мы пишем $\sqrt[3]{-8},$ то никаких сомнений нет в том, что мы ищем число, которое в третьей степени равно -8. Это -2. А теперь представьте себе, что нам даны выражения $(-8)^{1/3}$ и $(-8)^{2/6}.$ Здравый смысл подсказывает, что поскольку 1/3=2/6, то эти выражения должны совпадать. Однако 

$(-8)^{1/3}=\sqrt[3]{-8}=-2;\ (-8)^{2/6}=\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2.$

Чтобы не возникали подобные ситуации, и решили запретить возводить отрицательные числа в дробные степени.   

Answer 3

Область определения функции y = корень 3 степени из x (также известной как кубический корень из x) и функции y = x в степени 1/3 (также известной как кубический корень из x) действительно различны.

Функция y = корень 3 степени из x определена для всех действительных значений x, так как кубический корень извлекается из любого действительного числа. То есть, для любого действительного числа x, мы можем найти соответствующее значение y.

Однако, функция y = x в степени 1/3 не определена для отрицательных значений x. Это связано с тем, что при возведении в степень с нечетным знаменателем, отрицательные числа не имеют действительных кубических корней. Например, (-8) в степени 1/3 не имеет действительных значений, так как не существует действительного числа, возведенного в куб, дающего -8.

Таким образом, область определения функции y = корень 3 степени из x включает в себя все действительные числа, в то время как область определения функции y = x в степени 1/3 ограничена неотрицательными числами. Это делает эти две функции различными.