Question

Спростіть вираз (sin a+cos a)2 +sin a-cos a)2

Answer 1

(sinα+cosα)²+(sinα-cosα)²=sin²α+2sinαcosα+cos²α+sin²α-2sinαcosα+cos²α=2

Answer 2

Щоб спростити вираз `(sin(a) + cos(a))^2 - (sin(a) - cos(a))^2`, ми можемо скористатися формулами тригонометрії та алгебраїчними ідентичностями.

Спрощення `(sin(a) + cos(a))^2`

Ми можемо розкрити квадрат, використовуючи формулу `(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2`: ``` (sin(a) + cos(a))^2 = sin^2(a) + 2sin(a)cos(a) + cos^2(a) ```

Спрощення `(sin(a) - cos(a))^2`

Аналогічно, ми можемо розкрити квадрат `(sin(a) - cos(a))^2`: ``` (sin(a) - cos(a))^2 = sin^2(a) - 2sin(a)cos(a) + cos^2(a) ```

Об'єднання спрощених виразів

Тепер, коли ми маємо два спрощені вирази, ми можемо їх об'єднати: ``` (sin(a) + cos(a))^2 - (sin(a) - cos(a))^2 = (sin^2(a) + 2sin(a)cos(a) + cos^2(a)) - (sin^2(a) - 2sin(a)cos(a) + cos^2(a)) ```

Спрощення виразу

Застосуємо алгебраїчні правила для спрощення виразу: ``` (sin^2(a) + 2sin(a)cos(a) + cos^2(a)) - (sin^2(a) - 2sin(a)cos(a) + cos^2(a)) = sin^2(a) + 2sin(a)cos(a) + cos^2(a) - sin^2(a) + 2sin(a)cos(a) - cos^2(a) ```

Багато членів взаємно скорочуються: ``` sin^2(a) - sin^2(a) + cos^2(a) - cos^2(a) + 2sin(a)cos(a) + 2sin(a)cos(a) = 4sin(a)cos(a) ```

Таким чином, спрощений вираз `(sin(a) + cos(a))^2 - (sin(a) - cos(a))^2` рівний `4sin(a)cos(a)`.