Question

Помогите пожалуйста решить sin8pix+1=cos4pix+√2 cos(4pix-pi/4) И найдите все корни уравнения на отрезке [2-√7] ; [√7-2]

Answer 1

$\sin8\pi x+1=\cos4\pi x+ \sqrt{2} \cos\left(4\pi x- \frac{ \pi }{4} \right) \\\ \sin8\pi x+1=\cos4\pi x+ \sqrt{2} \left(\cos4\pi x\cos \frac{ \pi }{4}+\sin4\pi x\sin \frac{ \pi }{4} \right) \\\ \sin8\pi x+1=\cos4\pi x+ \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos4\pi x+\frac{ \sqrt{2} }{2}\sin4\pi x \right) \\\ \sin8\pi x+1=\cos4\pi x+ \cos4\pi x+\sin4\pi x \\\ 2\sin4\pi\cos4 \pi x x-2 \cos4\pi x-\sin4\pi x+1=0 \\\ 2 \cos4\pi x(\sin4\pi x-1)-(\sin4\pi x-1)=0 \\\ (\sin4\pi x-1)(2 \cos4\pi x-1)=0$
$\left[\begin{array}{l} \sin4\pi x-1=0 \\ 2 \cos4\pi x-1=0 \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} \sin4\pi x=1 \\ \cos4\pi x= \frac{1}{2} \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} 4\pi x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n \\ 4\pi x=\pm \frac{ \pi }{3}+2 \pi n \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} 4 x= \frac{ 1 }{2}+2 n \\ 4 x=\pm \frac{ 1 }{3}+2 n \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} x= \frac{ 1 }{8}+ \frac{ n}{2} , \ n\in Z \\ x=\pm \frac{ 1 }{12}+ \frac{n}{2} , \ n\in Z \end{array}$

Оценим границы заданного отрезка:
$6.9696\ \textless \ 7\ \textless \ 7.0225 \\\ \sqrt{6.9696} \ \textless \ \sqrt{7} \ \textless \ \sqrt{7.0225} \\\ 2.64\ \textless \ \sqrt{7} \ \textless \ 2.65 \\\ 0.64\ \textless \ \sqrt{7}-2 \ \textless \ 0.65 \\\ -0.65\ \textless \ 2- \sqrt{7} \ \textless \ -0.64$
- Корни из промежутка $[-0.64;0.64]$ автоматически попадают в заданный отрезок
 - Корни из промежутка $(-\infty;-0.65]\cup[0.65;+\infty)$ автоматически не попадают в заданный отрезок
 - Корни из промежутка $(-0.65;-0.64)\cup(0.64;0.65)$ нужно исследовать дополнительно

Рассмотрим первую серию корней $x_1= \frac{ 1 }{8}+ \frac{ n}{2}$:
При n=0: $x=\frac{ 1 }{8}$ - попадает в отрезок
При n=1: $x= \frac{ 1 }{8}+ \frac{ 1}{2}=\frac{ 5 }{8}=0.625$ - попадает в отрезок
При n=2: $x= \frac{ 1 }{8}+1= \frac{9}{8}$ - не попадает в отрезок
При n=-1: $x= \frac{ 1 }{8}- \frac{ 1}{2}=-\frac{ 3 }{8}$ - попадает в отрезок
При n=-2: $x= \frac{ 1 }{8}-1=-\frac{7 }{8}$ - не попадает в отрезок

Рассмотрим вторую серию корней $x_2=\frac{ 1 }{12}+ \frac{n}{2}$:
При n=0: $x=\frac{ 1 }{12}$ - попадает в отрезок
При n=1: $x=\frac{ 1 }{12}+ \frac{1}{2}= \frac{7}{12}$ - попадает в отрезок
При n=2: $x=\frac{ 1 }{12}+ 1= \frac{13}{12}$ - не попадает в отрезок
При n=-1: $x=\frac{ 1 }{12}- \frac{1}{2}=- \frac{5}{12}$ - попадает в отрезок
При n=-2: $x=\frac{ 1 }{12}-1=- \frac{11}{12}$ - не попадает в отрезок

Рассмотрим третью.серию корней $x_3=-\frac{ 1 }{12}+ \frac{n}{2}$:
При n=0: $x=-\frac{ 1 }{12}$ - попадает в отрезок
При n=1: $x=-\frac{ 1 }{12}+ \frac{1}{2}= \frac{5}{12}$ - попадает в отрезок
При n=2: $x=-\frac{ 1 }{12}+ 1= \frac{11}{12}$ - не попадает в отрезок
При n=-1: $x=-\frac{ 1 }{12}- \frac{1}{2}=- \frac{7}{12}$ - попадает в отрезок
При n=-2: $x=-\frac{ 1 }{12}-1=- \frac{13}{12}$ - не попадает в отрезок

Ответ: общее решение: $\frac{ 1 }{8}+ \frac{ n}{2}$; $\pm\frac{ 1 }{12}+ \frac{n}{2}$, где n - целые числа; корни на заданном отрезке: 1/8; 5/8; -3/8; 1/12; -1/12; 5/12; -5/12; 7/12; -7/12

Answer 2

Дано уравнение: sin(8πx + 1) = cos(4πx) + √2cos(4πx - π/4)

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства синуса и косинуса.

Первым шагом, мы можем преобразовать уравнение, используя тригонометрические тождества. Заметим, что cos(4πx) = sin(π/2 - 4πx). Подставим это в уравнение:

sin(8πx + 1) = sin(π/2 - 4πx) + √2cos(4πx - π/4)

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B):

sin(8πx + 1) = sin(π/2)cos(-4πx) - cos(π/2)sin(-4πx) + √2cos(4πx - π/4)

sin(8πx + 1) = cos(4πx)sin(-4πx) + √2cos(4πx - π/4)

Теперь, заменим sin(-4πx) на -sin(4πx):

sin(8πx + 1) = -cos(4πx)sin(4πx) + √2cos(4πx - π/4)

Теперь, объединим два члена синуса:

sin(8πx + 1) = √2cos(4πx - π/4) - cos(4πx)sin(4πx)

Теперь, мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B) = sin(A - B):

sin(8πx + 1) = √2sin(π/4 - 4πx)

Теперь, приравняем оба выражения к нулю:

√2sin(π/4 - 4πx) = 0

Так как sin(π/4 - 4πx) не может быть равен нулю, так как sin(A) = 0 только при A = nπ, где n - целое число, то мы можем приравнять аргумент к нулю:

π/4 - 4πx = 0

Решим это уравнение относительно x:

4πx = π/4

x = (π/4) / (4π)

x = 1/16

Таким образом, уравнение sin(8πx + 1) = cos(4πx) + √2cos(4πx - π/4) имеет единственный корень на отрезке [2-√7, √7-2], который равен x = 1/16.