Question

Сколько различных корней имеет уравнение |x(4-|x|)|=2

Answer 1

Ix(4-IxI)I=2
Раскрываz модуль имеем систему уравнений:
x(4-x)=2      x²-4x+2=0    D=8   x₁=2+√2   x₂=2-√2
-x(4-(-x)=2   x²+4x+2=0   D=8   x₃=-2+√2  x₄=-2-√2.

Answer 2

Данное уравнение |x(4-|x|)|=2 является модульным уравнением, которое содержит модуль и произведение переменной x. Чтобы найти количество различных корней этого уравнения, нам необходимо разобраться в его структуре и применить некоторые техники решения модульных уравнений.

Решение уравнения:

1. Разбиение интервалов: Для начала, давайте разобьем весь диапазон значений переменной x на несколько интервалов, чтобы увидеть, где происходят изменения в уравнении.

- Когда x < 0: В этом случае, модуль |x| просто становится -x, и уравнение принимает вид x(4+x)=2. Раскрывая скобки, получаем квадратное уравнение x^2 + 4x - 2 = 0. - Когда 0 ≤ x ≤ 4: В этом интервале модуль |x| равен самой переменной x, и уравнение остается без изменений: x(4-x)=2. - Когда x > 4: В этом случае, модуль |x| превращается в x, и уравнение принимает вид x(4-x)=2.

2. Решение каждого уравнения:

- x(4+x)=2: Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем x^2 + 4x - 2 = 0. Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня, полного квадратного трехчлена, факторизации или формулы дискриминанта. - x(4-x)=2: Раскрывая скобки, получаем -x^2 + 4x - 2 = 0. Здесь также можно использовать те же методы решения квадратного уравнения.

3. Найденные корни:

- После решения каждого уравнения, получим некоторые значения x. Объединим эти значения и удалим повторяющиеся корни, чтобы определить количество различных корней у исходного уравнения |x(4-|x|)|=2.

Теперь, давайте рассмотрим каждый интервал отдельно:

x < 0:

Решим уравнение x(4+x)=2: ``` x^2 + 4x - 2 = 0 ``` Применим формулу дискриминанта: ``` D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-2) = 16 + 8 = 24 ``` Так как дискриминант D положителен, у нас есть два различных корня: ``` x = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-4 + sqrt(24)) / 2 ≈ -3.07 x = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-4 - sqrt(24)) / 2 ≈ 0.07 ```

0 ≤ x ≤ 4:

Решим уравнение x(4-x)=2: ``` 4x - x^2 = 2 ``` Приведем его к стандартному виду: ``` x^2 - 4x + 2 = 0 ``` Квадратное уравнение не имеет рациональных корней. Поэтому, корни можно найти с помощью формулы дискриминанта или графическим методом. Приближенные значения корней округлим для удобства: ``` x ≈ 0.59, x ≈ 3.41 ```

x > 4:

Решим уравнение x(4-x)=2: ``` 4x - x^2 = 2 ``` Приведем его к стандартному виду: ``` x^2 - 4x + 2 = 0 ``` Аналогично предыдущему интервалу, у этого квадратного уравнения также нет рациональных корней. Приближенные значения корней округлим для удобства: ``` x ≈ 0.59, x ≈ 3.41 ```

Количество различных корней:

Объединим все найденные корни и удалим повторяющиеся значения: ``` -3.07, 0.07, 0.59, 3.41 ``` В итоге, у уравнения |x(4-|x|)|=2 есть четыре различных корня.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти количество различных корней у данного модульного уравнения. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!