Question

Найти интеграл ∫(1-x)² /x√x dx

Answer 1

=∫1/x√x dx-∫2х/x√x dx+∫x²/x√x dx=∫x^(-3/2) dx-∫2х^(-1/2) dx+∫x^(1/2) dx=

x^(-1/2)/(-1/2) -4х^(1/2) +2x^(3/2)/3=2x^(3/2)/3-4х^(1/2)-2x^(-1/2)

Answer 2

Интеграл ∫(1-x)²/x√x dx

Чтобы найти указанный интеграл, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Давайте начнем с раскрытия выражения (1-x)² и продолжим с интегрирования по частям.

1. Раскроем выражение (1-x)²: (1-x)² = 1 - 2x + x²

2. Затем запишем интеграл в виде ∫(1-x)²/x√x dx: ∫[(1 - 2x + x²) / x√x] dx

3. Теперь приступим к интегрированию по частям. Для этого обозначим u и dv: u = (1 - 2x + x²) => du = (-2 + 2x) dx dv = 1/(x√x) dx => v = 2/3x^(3/2)

4. Применяем формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du ∫(1 - 2x + x²) / x√x dx = (1 - 2x + x²) * (2/3x^(3/2)) - ∫(2/3x^(3/2)) * (-2 + 2x) dx

5. Продолжаем вычисления: (1 - 2x + x²) * (2/3x^(3/2)) - ∫(2/3x^(3/2)) * (-2 + 2x) dx = (2/3x^(3/2) - 4/3x^(1/2) + 2x^(3/2)) - (2/3 * (-2x^(1/2) + 2/3x^(3/2))) dx = 2/3x^(3/2) - 4/3x^(1/2) + 2x^(3/2) + 4/3x^(1/2) - 4/9x^(3/2)

6. Упрощаем итоговое выражение: 2/3x^(3/2) - 4/9x^(3/2) + 2x^(3/2) + 4/3x^(1/2) - 4/3x^(1/2) = 2/3x^(3/2) - 4/9x^(3/2) + 2x^(3/2) + 4/3x^(1/2) - 4/3x^(1/2)

Итак, интеграл ∫(1-x)²/x√x dx равен: 2/3x^(3/2) - 4/9x^(3/2) + 2x^(3/2) + 4/3x^(1/2) - 4/3x^(1/2) + C

где C - произвольная постоянная.