Question

Найдите производную функции f(x)=(x^2-1)/(x^2+1)

Answer 1

$y'= \frac{(x^2-1)'(x^2+1)-(x^2-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}= \frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2}= \frac{2x(x^2+1-x^2+1)}{(x^2+1)^2}=$$\frac{4x}{(x^2+1)^2}$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 1), мы можем использовать метод дифференцирования по правилу частного и правилу дифференцирования сложной функции.

Метод дифференцирования по правилу частного:

Правило частного гласит, что если у нас есть функция f(x) = g(x) / h(x), то производная f'(x) равна (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2.

Применение правила частного к нашей функции:

В нашем случае, g(x) = x^2 - 1 и h(x) = x^2 + 1. Теперь найдем производные g'(x) и h'(x) и подставим их в формулу правила частного.

Нахождение производной g'(x):

Для нахождения производной g'(x), мы можем использовать правило степенной функции и правило вычитания. g'(x) = 2x.

Нахождение производной h'(x):

Для нахождения производной h'(x), мы также можем использовать правило степенной функции и правило сложения. h'(x) = 2x.

Подстановка производных в формулу правила частного:

Теперь, подставим найденные производные g'(x) и h'(x) в формулу правила частного: f'(x) = ((2x) * (x^2 + 1) - (x^2 - 1) * (2x)) / ((x^2 + 1)^2).

Упрощение выражения:

Для упрощения этого выражения, мы можем раскрыть скобки в числителе и знаменателе. f'(x) = (2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x) / ((x^2 + 1)^2). f'(x) = (4x) / ((x^2 + 1)^2).

Финальный ответ:

Таким образом, производная функции f(x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 1) равна f'(x) = (4x) / ((x^2 + 1)^2).