Question

Докажите тождества : а) sin^4a - cos^4a = sin^2a - cos^2a б) sin a / 1 - cos a = 1 + cos a / sin a Выразите дробь : sin a - cos a / sin a + cos a через ctg a Упростите выражение : sin^2 (-a) + tg (-a) * ctg a

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ оытвет

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое тождество по очереди и докажем их.

a) Доказательство: sin^4(a) - cos^4(a) = sin^2(a) - cos^2(a)

Начнем с левой части равенства: sin^4(a) - cos^4(a)

Мы можем применить формулу разности квадратов: (sin^2(a) + cos^2(a)) * (sin^2(a) - cos^2(a))

Теперь заметим, что sin^2(a) + cos^2(a) равно 1 (идентичность тригонометрии): 1 * (sin^2(a) - cos^2(a))

Таким образом, левая часть равна sin^2(a) - cos^2(a), что является правой частью, и тождество доказано.

б) Доказательство: sin(a) / (1 - cos(a)) = 1 + cos(a) / sin(a)

Начнем с левой части равенства: sin(a) / (1 - cos(a))

Мы можем применить формулу деления синуса на косинус: sin(a) / (1 - cos(a)) = sin(a) / (1 - cos(a)) * (1 + cos(a)) / (1 + cos(a))

Упростим числитель и знаменатель: (sin(a) * (1 + cos(a))) / ((1 - cos(a)) * (1 + cos(a)))

Раскроем скобки в числителе и знаменателе: (sin(a) + sin(a) * cos(a)) / (1 - cos^2(a))

Заметим, что 1 - cos^2(a) равно sin^2(a) (идентичность тригонометрии): (sin(a) + sin(a) * cos(a)) / sin^2(a)

Теперь мы можем разделить числитель и знаменатель на sin(a): sin(a) / sin^2(a) + sin(a) * cos(a) / sin^2(a)

Так как sin(a) / sin^2(a) равно 1 / sin(a) (идентичность тригонометрии) и sin(a) * cos(a) / sin^2(a) равно cos(a) / sin(a), получаем: 1 / sin(a) + cos(a) / sin(a)

Это равносильно (1 + cos(a)) / sin(a), что является правой частью, и тождество доказано.

Выражение: sin(a) - cos(a) / sin(a) + cos(a) через ctg(a)

Для выражения sin(a) - cos(a) / sin(a) + cos(a) через ctg(a) воспользуемся следующими тригонометрическими соотношениями:

ctg(a) = cos(a) / sin(a)

Теперь заменим cos(a) / sin(a) в выражении: sin(a) - (cos(a) / sin(a)) / (sin(a) + cos(a))

Объединим дроби в одну: sin(a) * sin(a) - cos(a) / (sin(a) * (sin(a) + cos(a)))

Упростим числитель: sin^2(a) - cos(a) / (sin^2(a) + sin(a) * cos(a))

Теперь заметим, что sin^2(a) + sin(a) * cos(a) равно sin(a) * (sin(a) + cos(a)), и мы можем сократить общий множитель sin(a): (sin^2(a) - cos(a)) / (sin(a) * (sin(a) + cos(a)))

Таким образом, выражение sin(a) - cos(a) / sin(a) + cos(a) через ctg(a) равно (sin^2(a) - cos(a)) / (sin(a) * (sin(a) + cos(a))).

Упрощение выражения: sin^2(-a) + tg(-a) * ctg(a)

Для упрощения выражения sin^2(-a) + tg(-a) * ctg(a) воспользуемся следующими тригонометрическими соотношениями:

sin(-a) = -sin(a) tg(-a) = -tg(a) ctg(a) = cos(a) / sin(a)

Заменим sin(-a), tg(-a) и ctg(a) в выражении: (-sin(a))^2 + (-tg(a)) * (cos(a) / sin(a))

Упростим числитель: sin^2(a) + (-tg(a)) * (cos(a) / sin(a))

Упростим дробь: sin^2(a) - tg(a) * cos(a) / sin(a)

Таким образом, упрощенное выражение sin^2(-a) + tg(-a) * ctg(a) равно sin^2(a) - tg(a) * cos(a) / sin(a).

Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!