Question

Найти первообразную длч функции y= 1/(7-3x)^5

Answer 1

Неопределенный интеграл
$\int\limits {1/(7-3x)^5} \, dx+C =$
делаем замену u=7-3x и du= -3dx
$-1/3* \int\limits{1/u^5} \, du=-1/3*(-1/(4*u^4))+C= 1/(12*u^4)+C$
делаем обратную замену
=1/(12*(7-3x)^4)+C

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции y = 1/(7-3x)^5, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте рассмотрим этот процесс подробнее.

Метод замены переменной

1. Первый шаг заключается в выборе подходящей замены переменной. В данном случае, мы можем воспользоваться заменой u = 7-3x. Тогда, дифференциал dx будет равен -du/3.

2. Затем, мы должны выразить исходную функцию y через новую переменную u. Заменяя x в функции y = 1/(7-3x)^5 на выражение с u, получим y = 1/u^5.

3. Далее, заменяем dx в интеграле на -du/3.

4. Теперь мы можем переписать исходный интеграл в терминах новой переменной: ∫(1/(7-3x)^5) dx = ∫(1/u^5) * (-du/3)

5. Мы можем вынести константу -1/3 за знак интеграла: = -1/3 * ∫(1/u^5) du

6. После этого, мы можем интегрировать функцию 1/u^5 по переменной u: = -1/3 * ∫u^(-5) du

7. Интегрируя функцию u^(-5), получим: = -1/3 * (u^(-4)) / -4 + C = 1/(12u^4) + C

8. Возвращаясь к исходной переменной x, мы получаем: = 1/(12(7-3x)^4) + C

Таким образом, первообразная функции y = 1/(7-3x)^5 равна 1/(12(7-3x)^4) + C, где C - произвольная постоянная.