Question

Докажите, что значение выражения есть число рациональное. (3/√5+4)-(3/√5-4)

Answer 1

$\frac{3}{\sqrt{5}+4}-\frac{3}{\sqrt{5}-4}=\frac{3 \sqrt{5}-12-3\sqrt{5}-12 }{(\sqrt{5}-4)(\sqrt{5}+4)}=\frac{-24}{5-16}=\frac{24}{11}$

Answer 2

Для доказательства, что значение выражения является рациональным числом, мы должны показать, что оно может быть представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Давайте рассмотрим выражение подробнее.

Выражение: (3/√5 + 4) - (3/√5 - 4)

Упрощение выражения

Для начала, упростим данное выражение. У нас имеется сложение и вычитание двух дробей. Чтобы сложить или вычесть дроби, необходимо иметь общий знаменатель. В данном случае, знаменатели равны √5, поэтому нам необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Приведение к общему знаменателю

Для приведения к общему знаменателю, умножим числитель и знаменатель первой дроби (3/√5 + 4) на √5 и второй дроби (3/√5 - 4) на -√5. Получим:

(3/√5 * √5 + 4 * √5) - (3/√5 * -√5 - 4 * -√5)

Упрощение выражения после приведения к общему знаменателю

После приведения к общему знаменателю, получим:

(3 + 4√5) - (-3 - 4√5)

Упрощая это выражение, мы получим:

3 + 4√5 + 3 + 4√5

Сокращение одинаковых слагаемых

После сокращения одинаковых слагаемых, получим:

6 + 8√5

Представление в виде дроби

Теперь мы можем представить значение выражения 6 + 8√5 в виде дроби, где числитель - это сумма, а знаменатель - 1:

(6 + 8√5) / 1

Заключение

Таким образом, мы показали, что значение данного выражения (3/√5 + 4) - (3/√5 - 4) может быть представлено в виде дроби (6 + 8√5) / 1, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Следовательно, значение выражения является рациональным числом.