Question

1. Найдите скалярное произведение векторов а и в,если |а|=5,|в|=4 и 60°-угол между векторами а и в. 2.найдите 4 числа,которые образуют геометрическую прогрессию. Третий член данной прогрессии больше первого на 9,а второй больше четвертого на 18. 3. Постройте график функции у=х^2-2х-3. Пользуясь графиком,найдите: А) область значения функции; Б)промежуток убывания функции.

Answer 1

2) a₁, a₂, a₃, a₄ - 
a₁, a₁q, a₁q², a₁q³
a₁q²-a₁=9,         a₁(q²-1)=9    (1)
a₁q³-a₁q=18      a₁q(q²-1=18   (2)  поделим (1) на (2) и получаем
______________________
1/q=1/2
q=2
a₁(2²-1)=9,   a₁=3, a₂=3*2=6, a₃=6*2=12,  a₄=12*2=24
Ответ: 3, 6, 12, 24
3) график на отдельном листе
А) область значения: [-4; +∞)
Б) промежуток убывания функции: (-∞; 1]

Answer 2

1. Найдите скалярное произведение векторов а и в

Для начала рассчитаем скалярное произведение векторов а и в, используя формулу:

\[ \vec{a} \cdot \vec{v} = |\vec{a}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta) \]

Где \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{v}| \) - длины векторов, а \( \theta \) - угол между векторами.

Исходя из условия, \( |\vec{a}| = 5 \), \( |\vec{v}| = 4 \) и \( \theta = 60^\circ \), можем рассчитать скалярное произведение:

\[ \vec{a} \cdot \vec{v} = 5 \times 4 \times \cos(60^\circ) = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов а и в равно 10.

2. Найдите 4 числа, которые образуют геометрическую прогрессию. Третий член данной прогрессии больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

Пусть четыре числа образуют геометрическую прогрессию и имеют вид \( a, ar, ar^2, ar^3 \), где \( a \) - первый член, \( r \) - знаменатель прогрессии.

Учитывая условия задачи:

\[ ar = a + 9 \] \[ ar^2 = ar - 18 \]

Подставим \( ar \) из первого уравнения во второе уравнение:

\[ (a + 9)r = a - 18 \] \[ ar + 9r = a - 18 \]

Теперь подставим \( ar \) из первого уравнения во второе:

\[ a(a + 9) = a - 18 \] \[ a^2 + 9a = a - 18 \] \[ a^2 + 8a + 18 = 0 \]

Решив квадратное уравнение, найдем значения \( a \) и \( r \), а затем найдем четыре числа.

3. Постройте график функции \( y = x^2 - 2x - 3 \)

Построим график функции \( y = x^2 - 2x - 3 \):

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = x**2 - 2*x - 3

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = x^2 - 2x - 3')
plt.grid(True)
plt.show()

А) Область значений функции:

Область значений функции \( y = x^2 - 2x - 3 \) - все действительные числа \( y \), так как квадратный член \( x^2 \) всегда неотрицательный, следовательно, при любом значении \( x \) выражение \( x^2 - 2x - 3 \) может принимать любые действительные значения \( y \).

Б) Промежуток убывания функции:

Промежуток убывания функции - интервал, на котором значение функции уменьшается. Для функции \( y = x^2 - 2x - 3 \) этот интервал - отрицательные значения \( x \), так как при увеличении \( x \), значение функции увеличивается (выше параболы). Таким образом, промежуток убывания функции - отрицательные значения \( x \).