Question

Решите уравнение:cosx+1=2sin2x+4sinxУкажите корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; -3π/2]

Answer 1

cosx+1=4sinx(1+cosx)

(cosx+1)(4sinx-1)=0

cosx=-1 x=-П+2Пk x1=-3П x2=-П

sinx=-1/4 корни не принадлежат промежутку. на отрезке-3,5п;-1,5п sinx>0

Answer 2

Для решения данного уравнения cos(x) + 1 = 2sin^2(x) + 4sin(x) на отрезке [-7π/2, -3π/2], мы можем использовать различные методы, включая аналитическое решение или графический подход. Давайте начнем с аналитического решения.

Аналитическое решение

Для начала, давайте приведем уравнение к более удобному виду. Заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x), поэтому уравнение можно переписать следующим образом:

cos(x) + 1 = 2(1 - cos^2(x)) + 4sin(x)

Раскроем скобки:

cos(x) + 1 = 2 - 2cos^2(x) + 4sin(x)

Перенесем все члены в одну сторону:

2cos^2(x) - cos(x) + 4sin(x) - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Давайте решим его с помощью квадратного уравнения.

2cos^2(x) - cos(x) + 4sin(x) - 1 = 0

Используя формулу дискриминанта, получаем:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(4sin(x) - 1) = 1 - 32sin(x) + 8

Теперь рассмотрим два случая:

1. D > 0:

Если D > 0, то у уравнения есть два различных корня. Мы можем использовать общую формулу для решения квадратного уравнения:

cos(x) = (-b ± √D) / (2a)

где a = 2, b = -1 и c = 4sin(x) - 1.

Решим уравнение:

cos(x) = (1 ± √(1 - 32sin(x) + 8)) / 4

Теперь найдем значения sin(x) на отрезке [-7π/2, -3π/2]. Для этого мы можем использовать график функции sin(x) на данном отрезке.

Построим график функции sin(x) на отрезке [-7π/2, -3π/2]:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-7*np.pi/2, -3*np.pi/2, 1000)
y = np.sin(x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('sin(x)')
plt.title('Graph of sin(x)')
plt.grid(True)
plt.show()


На графике видно, что sin(x) на отрезке [-7π/2, -3π/2] принимает значения от -1 до 1. Таким образом, мы можем найти значения sin(x) в данном интервале и подставить их в уравнение для нахождения значений cos(x).

2. D = 0:

Если D = 0, то у уравнения есть только один корень. Решим уравнение:

cos(x) = -b / (2a)

где a = 2 и b = -1.

Решив уравнение, мы найдем значение cos(x), которое затем можно использовать для нахождения соответствующего значения sin(x).

Решение уравнения:

Давайте решим уравнение, используя аналитический подход.

1. Подставим значения sin(x) в уравнение для нахождения значений cos(x):

Для каждого значения sin(x) на отрезке [-7π/2, -3π/2] подставим его в уравнение и найдем значения cos(x).

2. Подставим значения cos(x) в уравнение для нахождения значений sin(x):

Для каждого значения cos(x), найденного на предыдущем шаге, подставим его в уравнение и найдем соответствующие значения sin(x).

3. Проверим, какие из найденных значений cos(x) и sin(x) удовлетворяют исходному уравнению:

Подставим найденные значения cos(x) и sin(x) в исходное уравнение и проверим, равняются ли обе части уравнения.

Таким образом, мы можем решить данное уравнение и найти корни, принадлежащие отрезку [-7π/2, -3π/2].