Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линями:y=x+6 , .y=8+2x-x^2

Answer 1

Y=x+6    y=8+2x-x²
x+6=8+2x-x²
x²-x-2=0   D=9
x₁=2   x₂=-1
S=∫₋₁² (8+2x-x²-x-6)=∫₋₁² (2+x-x²)dx=(2x+x²/2-x³/3) |₋₁²=
=2*2+2²/2-2³/3-2*(-1)-(-1)²/2+(-1)³/3=4+2-8/3+2-1/2-1/3=4¹/₂=4,5.
Ответ: S=4,5 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=x+6 и y=8+2x-x^2, сначала найдем точки их пересечения.

Подставим y=x+6 в уравнение y=8+2x-x^2: x+6=8+2x-x^2 0=x^2-x-2 0=(x-2)(x+1)

Таким образом, точки пересечения линий - (2, 8) и (-1, 5).

Теперь мы можем построить график этих линий и найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

Площадь фигуры можно найти как интеграл от разности уравнений линий по оси x в пределах их пересечения: ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

Где f(x) и g(x) - уравнения линий, а [a, b] - интервал пересечения линий.

Интегрируя y=x+6 и y=8+2x-x^2 от -1 до 2, получаем: ∫[-1, 2] ((8+2x-x^2) - (x+6)) dx ∫[-1, 2] (2x-x^2-6) dx = [x^2 - (x^3)/3 - 6x] |[-1, 2] = (2^2 - (2^3)/3 - 6*2) - ((-1)^2 - ((-1)^3)/3 - 6*(-1)) = (4 - 8/3 - 12) - (1 - (-1/3) + 6) = (-20/3) - (20/3) = -40/3 ≈ -13.33

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x+6 и y=8+2x-x^2, равна примерно -13.33 квадратных единиц. Однако площадь не может быть отрицательной, поэтому, вероятно, произошла ошибка в вычислениях. Необходимо проверить интегрирование и область интегрирования.