Question

Дам 40 балловпомогите решитьf(x)=2cosx-sin2x [-p/2;p/2]надо найти максимум и минимум(Ymax? Ymin?)

Answer 1

f ' (x) = -2sin(x) - 2cos(2x) = 0
sin(x) + 1 - 2sin²(x) = 0
2sin²(x) - sin(x) - 1 = 0
D=1+8=3²
(sin(x))₁;₂ = (1 ± 3) / 4
sin(x) = 1   или   sin(x) = -1/2
x = (π/2) + 2πk, k∈Z
x = (-π/6) + 2πn, n∈Z
x = (-5π/6) + 2πk, k∈Z
на отрезке [-π/2; π/2]:
x = π/2
x = -π/6
у(π/2) = 2cos(π/2) - sin(2π/2) = 0-0 = 0 <--- y_min
у(-π/6) = 2cos(-π/6) - sin(-2π/6) = 2cos(π/6) + sin(π/3) = √3+√3/2 = 1.5√3 <--- y_max
график функции для иллюстрации))

Answer 2

Для нахождения максимума и минимума функции f(x) = 2cos(x) - sin^2(x) на интервале [-π/2; π/2], мы можем использовать производные функции и методы анализа функций.

Нахождение критических точек:

1. Найдем производную функции f(x) по переменной x. - f'(x) = -2sin(x) - 2sin(x)cos(x) 2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки. - -2sin(x) - 2sin(x)cos(x) = 0 - sin(x)(1 + cos(x)) = 0 - sin(x) = 0 или cos(x) = -1 3. Решим уравнение sin(x) = 0: - x = 0, π 4. Решим уравнение cos(x) = -1: - x = π

Определение максимума и минимума:

Теперь, когда у нас есть критические точки, мы можем определить, являются ли они максимумами или минимумами, а также найти значения функции в этих точках.

1. Подставим критические точки в исходную функцию f(x) и вычислим значения: - f(0) = 2cos(0) - sin^2(0) = 2 - 0 = 2 - f(π) = 2cos(π) - sin^2(π) = -2 - 0 = -2

Ответ:

Таким образом, максимум функции f(x) на интервале [-π/2; π/2] равен 2 (Ymax = 2), а минимум равен -2 (Ymin = -2).