Question

Коля задумал четыре числа и выписал на доске пять из шести их попарных сумм. Это оказались числа: 17, 19, 20, 24, 26. Найдите шестую сумму (перечислите все возможности и объясните, почему других вариантов нет).

Answer 1

Обозначим задуманные 4 числа через a, b, c и d и положим a ≤ b ≤ c ≤ d. Сумма всех шести попарных сумм будет равна a + b + a + c + a + d + b + c + b + d + c + d = 3a + 3b + 3c + 3d = 3(a + b +c + d). Поскольку на доске было выписано только 5 попарных сумм, то их сумма будет на одну попарную сумму меньше. Пусть, для определенности это сумма a + b. Тогда сумма пяти попарных сумм будет равна 3(a + b + c + d) - (a + b) = 3(c + d) + 2(a + b) = 17 + 19 + 20 + 24 + 26 = 106. Рассмотрим остатки от деления данных чисел на 3. Это остатки 0, 1 и 2. Отсюда видно, что только число 24, а также суммы 17 + 19, 19 + 20, 26 + 19, 19 + 20 + 24, 19 + 24 + 26, 17 + 19 + 24 и 17 + 20 + 26 будут кратными 3. Пусть вначале 3(c + d) = 24, тогда c + d = 24/3 = 8 и 2(a + b) = 106 - 24 = 82, откуда a + b = 82/2 = 41. Обоих сумм нет в нашем списке, а это невозможно, поскольку у нас не хватает лишь одной попарной суммы. Пусть теперь 3(c + d) = 19 + 20 = 39. Тогда c + d = 39/3 = 13 и 2(a + b) = 106 - 39 = 67, откуда a + b = 67/2 = 33,5, что невозможно. Пусть 3(c + d) = 26 + 19 = 45, тогда c + d = 45/3 = 15, а 2(a + b) = 106 - 45 = 61, откуда a + b = 61/2 = 30,5, что также невозможно. Пусть теперь 3(c + d) = 17 + 19 = 36. Отсюда c + d = 36/3 = 12 и 2(a + b) = 106 - 36 = 70, откуда a + b = 70/2 = 35. Получили две попарные суммы 12 и 35, которых нет в списке попарных сумм. Такое также невозможно, поскольку у нас в списке отсутствует лишь одна попарная сумма. Теперь примем 3(c + d) = 19 + 20 + 24 = 63, отсюда c + d = 63/3 = 21. Тогда 2(a + b) = 106 - 63 = 43 и a + b = 432 = 21,5, что невозможно. Пусть 3(c + d) = 19 + 24 + 26 = 69. Тогда c + d = 69/3 = 23, а 2(a + b) = 106 - 69 = 37, откуда a + b = 37/2 = 18,5, что также невозможно. Рассмотрим сумму 3(c + d) = 17 + 20 + 26 = 63, отсюда c + d = 63/3 = 21 и 2(a + b) = 106 - 63 = 43, откуда a + b = 43/2 = 21,5, что невозможно. Пусть, наконец, 3(c + d) = 17 + 19 + 24 = 60, тогда c + d = 60/3 = 20. Эта сумма имеется у нас в списке. В свою очередь 2(a + b) = 106 - 60 = 46, откуда a + b = 46/2 = 23. Эта попарная сумма у нас отсутствует. Теперь легко получаем оставшиеся попарные суммы. a + b = 23, c + d = 20. Отсюда a + b + c + d = 23 + 20 = 43. Тогда (a + c) + (b + d) = 43. Замечаем, что одно из чисел a или b нечетное, тогда как c и d либо оба четные, либо оба нечетные. Положим a + c = 17, b + d = 26. Тогда c и d у нас оба четные, так же, как и b. Далее из равенства a + b + c + d = 23 + 20 = 43 следует, что (a + d) + (b + c) = 43, откуда a + d = 19, b + c = 24. Т. о. получили все попарные суммы. Шестой отсутствующей попарной суммой является сумма a + b = 23 и это единственный возможный вариант из рассмотренных.

Ответ: 23.

Answer 2

Из условия задачи следует, что Коля задумал четыре числа. Давайте обозначим эти числа как a, b, c и d. Тогда, согласно задаче, Коля выписал на доске пять попарных сумм этих чисел: 17, 19, 20, 24 и 26.

Давайте составим уравнения на основе этих попарных сумм:

a + b = 17 ...(уравнение 1) a + c = 19 ...(уравнение 2) a + d = 20 ...(уравнение 3) b + c = 24 ...(уравнение 4) b + d = 26 ...(уравнение 5)

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a, b, c и d. Давайте решим эту систему уравнений методом подстановки.

Из уравнения (1) мы можем выразить a через b: a = 17 - b. Подставим это значение a в уравнение (2):

(17 - b) + c = 19

Раскроем скобки:

17 - b + c = 19

Теперь мы можем решить это уравнение относительно c:

c = 19 - 17 + b c = 2 + b ...(уравнение 6)

Таким образом, мы выразили c через b. Теперь давайте подставим это значение c в уравнение (4):

b + (2 + b) = 24

Раскроем скобки:

b + 2 + b = 24

Скомбинируем слагаемые:

2b + 2 = 24

Вычтем 2 с обеих сторон:

2b = 22

Разделим обе части на 2:

b = 11

Теперь мы знаем значение b. Давайте подставим это значение b в уравнение (6):

c = 2 + b c = 2 + 11 c = 13

Теперь мы знаем значения b и c. Давайте подставим их в уравнение (3):

a + d = 20

Заменим a на 17 - b и c на 13:

(17 - b) + d = 20

Раскроем скобки:

17 - b + d = 20

Теперь мы можем решить это уравнение относительно d:

d = 20 - 17 + b d = 3 + b d = 3 + 11 d = 14

Таким образом, мы нашли значения a = 17, b = 11, c = 13 и d = 14.

Теперь давайте найдем шестую сумму, которую Коля не выписал на доске. Мы можем использовать любые два из этих чисел, чтобы найти сумму третьего числа с неизвестным числом. Давайте рассмотрим все возможности:

a + b = 17 + 11 = 28 a + c = 17 + 13 = 30 a + d = 17 + 14 = 31 b + c = 11 + 13 = 24 b + d = 11 + 14 = 25 c + d = 13 + 14 = 27

Таким образом, шестая сумма будет одной из следующих: 28, 30, 31, 24, 25 или 27.

Других вариантов нет, так как у нас есть только четыре исходных числа, и каждое из них должно быть использовано ровно один раз при нахождении суммы.