Question

Найти экстремумы и интервалы возрастания и убывания функций. y=lnx/x

Answer 1

Y'=(u/v)'=1/v²[u'v-v'u]   u=lnx   u'=1/x   v=x    v'=1
y'=1/x²[1-lnx]
---------------------0------------------ e-----------------------
         -                          +                        -
экстремумы x=0 асимптота и x=e.
убывает (-∞;0)∪(e;∞)
возрастает (0;e)

Answer 2

Для нахождения экстремумов и интервалов возрастания и убывания функции y=lnx/x, нужно найти ее производную и решить уравнение f'(x)=0.

Сначала найдем производную функции y=lnx/x, используя правило дифференцирования частного: f'(x) = (1/x) - (lnx/x^2)

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: (1/x) - (lnx/x^2) = 0 Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от дробей: x - lnx = 0 lnx = x Это уравнение не имеет аналитического решения, поэтому мы не можем найти точные значения x, в которых производная равна нулю. Однако мы можем найти интервалы возрастания и убывания функции, используя производную.

Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции, используя производную. Для этого нам нужно проанализировать знак производной на разных интервалах.

1. Если x>1, то производная f'(x) положительна, так как (1/x) больше чем (lnx/x^2). 2. Если 0

Таким образом, функция y=lnx/x возрастает на интервале (1, +бесконечность) и убывает на интервале (0, 1). Это позволяет нам найти экстремумы функции: минимум в точке x=1 и максимум в точке x=0.

Итак, мы нашли интервалы возрастания и убывания функции y=lnx/x, а также определили ее экстремумы.