Question

Решить систему уравнений:Система: х-2у=4 ху=6

Answer 1

$\left \{ {{x-2y=4} \atop {x\cdot y=6}} \right. \ \ \ x\neq0;\ y\neq0\\ x=4+2y;\\ (4+2y)\cdot y=6;\\ 4y+2y^2=6;\\ y^2+2y-3=0;\\ D=b^2-4\cdot a\cdot c=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16=(\pm4);\\ y_1=\frac{-b-\sqrt D}{2\cdot a}=\frac{-2-4}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3;\\ x_1=4+2y_1=4-6=-2;\ \ \ x_1=\frac{6}{y_1}=\frac{6}{-3}=-1;\\ y_2=\frac{-b+\sqrt D}{2\cdot a}=\frac{-2+4}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1;\\ x_2=4+2y_2=4+2=6;\ \ \ x_2=\frac{6}{y_2}=\frac{6}{1}=6;$
ответ: х=-2 и у=-3
         х=6 и у=1

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.

Метод подстановки:

1. Выразим одну из переменных из одного уравнения и подставим её в другое уравнение.

Итак, у нас есть система: \[ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ xy = 6 \end{cases} \]

Сначала выразим \( x \) из второго уравнения: \[ x = \frac{6}{y} \]

Теперь подставим это значение \( x \) в первое уравнение: \[ \frac{6}{y} - 2y = 4 \]

Умножим обе части уравнения на \( y \) для упрощения: \[ 6 - 2y^2 = 4y \]

Перенесем все члены уравнения влево: \[ 2y^2 + 4y - 6 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = 4^2 - 4*2*(-6) = 16 + 48 = 64 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два вещественных корня: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{4} = \frac{-4 \pm 8}{4} \]

Следовательно, получаем два значения для \( y \): \[ y_1 = \frac{-4 + 8}{4} = 1 \] \[ y_2 = \frac{-4 - 8}{4} = -3 \]

Теперь найдем соответствующие значения для \( x \) используя уравнение \( x = \frac{6}{y} \): \[ x_1 = \frac{6}{1} = 6 \] \[ x_2 = \frac{6}{-3} = -2 \]

Таким образом, получаем две пары решений: \[ (x_1, y_1) = (6, 1) \] \[ (x_2, y_2) = (-2, -3) \]

Метод сложения/вычитания:

2. Преобразуем систему уравнений для сложения/вычитания.

Исходная система: \[ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ xy = 6 \end{cases} \]

Умножим первое уравнение на \( x \): \[ x^2 - 2xy = 4x \]

Теперь выразим \( x^2 \) из второго уравнения: \[ x^2 = 6y \]

Подставим это значение \( x^2 \) в уравнение \( x^2 - 2xy = 4x \): \[ 6y - 2xy = 4x \]

Теперь выразим \( x \) из этого уравнения: \[ x = \frac{6y}{2y - 4} \]

Теперь подставим это значение \( x \) в первое уравнение: \[ \frac{6y}{2y - 4} - 2y = 4 \]

Это даст нам уравнение только относительно \( y \), которое можно решить с помощью методов алгебры.

Таким образом, система уравнений \( \begin{cases} x - 2y = 4 \\ xy = 6 \end{cases} \) может быть решена методом подстановки или методом сложения/вычитания.