Question

Сos2x+корень из двух* cos(п/2+x)+1=0

Answer 1

$cos2x+\sqrt2cos(\frac{\pi}2+x)+1=0\\(cos2x=1-2sin^2x,cos(\frac{\pi}2+x)=-sinx\\1-2sin^2x-\sqrt{2}sinx+1=0\\-2sin^2x-\sqrt{2}sinx+2=0\\2sin^2x+\sqrt2sinx-2=0\\t=sinx,t\in[-1;1]\\2t^2+\sqrt2t-2=0\\D=2+4*2*2=2+16=18\\\\t_1=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{18}}4=\frac{-\sqrt{2}(1+\sqrt{9})}4=-\frac{\sqrt2}4(1+3)=-\frac{\sqrt2}4*4=-\sqrt2,\notin[-1;1]\\\\t_2=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{18}}4=\frac{-\sqrt{2}(1-\sqrt{9})}4=-\frac{\sqrt2}4(1-3)=\frac{\sqrt2}2$

$sinx=\frac{\sqrt2}2\\\\ \left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi}4+2\pi n;n\in Z\\x=\frac{3\pi}4+2\pi n;n\in Z\end{array}\right$

Answer 2

Cos2x+√2 * cos(π/2 +x) +1=0
cos²x - sin²x + √2 * (-sinx) +1=0
1-sin²x -sin²x - √2 sinx +1=0
1-2sin²x - √2 sinx +1=0
-2sin²x -√2 sinx +2 =0
2sin²x +√2 sinx -2 =0

пусть sinx =y

2y²+√2 y - 2=0
D=2 + 4*2*2 =18
y₁=-√2 - √18 = -√2 - 3√2 = -4√2 = -√2
           4               4              4
y₂= -√2 + 3√2 = 2√2 = √2
            4            4         2

При у= -√2
sinx=-√2
так как -√2∉[-1; 1], то
нет решений.

При у= √2
             2
х=(-1)^n * (π/4) +πn

Ответ: х=(-1)^n * (π/4) +πn.

Answer 3

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Уравнение выглядит следующим образом: cos(2x) + √2 * cos(π/2 + x) + 1 = 0

Шаг 1: Замена переменных

Введем новую переменную t = π/2 + x. Тогда уравнение примет вид: cos(2x) + √2 * cos(t) + 1 = 0

Шаг 2: Замена тригонометрических функций

Используя формулу двойного угла для косинуса, мы можем заменить cos(2x): 2*cos^2(x) - 1 + √2 * cos(t) + 1 = 0

Сократим 1 и 1 на обоих сторонах уравнения: 2*cos^2(x) + √2 * cos(t) = 0

Шаг 3: Использование формулы сложения для косинуса

Мы можем преобразовать √2 * cos(t) с помощью формулы сложения для косинуса: 2*cos^2(x) + √2 * (cos(π/2) * cos(x) - sin(π/2) * sin(x)) = 0

Упрощаем выражение: 2*cos^2(x) + √2 * (0 * cos(x) - 1 * sin(x)) = 0 2*cos^2(x) - √2 * sin(x) = 0

Шаг 4: Использование тригонометрической идентичности

Мы можем использовать тригонометрическую идентичность cos^2(x) + sin^2(x) = 1, чтобы избавиться от cos^2(x) в уравнении: 2*(1 - sin^2(x)) - √2 * sin(x) = 0

Раскрываем скобки: 2 - 2*sin^2(x) - √2 * sin(x) = 0

Шаг 5: Подстановка новой переменной

Давайте заменим sin(x) на новую переменную y: 2 - 2*y^2 - √2 * y = 0

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Теперь мы имеем квадратное уравнение: 2*y^2 + √2 * y - 2 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Применяя формулу дискриминанта, получаем: D = (√2)^2 - 4 * 2 * (-2) = 2 + 16 = 18

Так как дискриминант положительный, у нас есть два вещественных корня.

Шаг 8: Нахождение корней

Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем: y1 = (-√2 + √18) / 4 y2 = (-√2 - √18) / 4

Шаг 9: Нахождение sin(x)

Теперь, чтобы найти sin(x), мы можем использовать обратные тригонометрические функции.

Для y1: sin(x1) = y1 x1 = arcsin(y1)

Для y2: sin(x2) = y2 x2 = arcsin(y2)

Шаг 10: Нахождение x

Используя наши значения x1 и x2, мы можем найти значения x: x = π/2 + x1 x = π/2 + x2

Теперь у нас есть два значения x, которые являются решениями исходного уравнения cos(2x) + √2 * cos(π/2 + x) + 1 = 0.