Question

Решить неравенство: 1) 1/3х(х+1) ≤ (х-1)² 2)1/3х - 4/9 ≥ х(х-1) 3)2х-2,5 > х(х-1)

Answer 1

1) 1/3х(х+1) ≤ (х-1)²
1/3*x(x+1)-(x-1)(x+1)≤0
(x-1)*(1/3*x-x-1)≤0
(x-1)(2/3*x+1)≥0
x=1  x=-1,5
x∈(-∞;-1,5] U [1;∞)

2)1/3х - 4/9 ≥ х(х-1)
x²-x-1/3*x+4/9≤0
x²-4/3*x+4/9≤0
9x²-12x+4≤0
(3x-2)²≤0
3x=2
x=2/3

3)2х-2,5 > х(х-1)
x²-x-2x+2,5<0
x²-3x+2,5<0
D=9-10=-1<0
нет решения

Answer 2

Давайте решим каждое из неравенств по очереди.

Решение неравенства 1: 1/3х(х+1) ≤ (х-1)²

Для начала раскроем скобки в обоих частях неравенства:

1/3х² + 1/3х ≤ х² - 2х + 1

Затем приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

1/3х² + 1/3х - х² + 2х - 1 ≤ 0

Теперь объединим все слагаемые в одной части неравенства:

-2/3х² + 7/3х - 1 ≤ 0

Далее, чтобы решить это квадратное неравенство, найдем его корни. Для этого решим соответствующее квадратное уравнение:

-2/3х² + 7/3х - 1 = 0

Можем воспользоваться формулой дискриминанта: D = b² - 4ac

D = (7/3)² - 4 * (-2/3) * (-1) = 49/9 + 8/3 = 49/9 + 24/9 = 73/9

Как мы видим, дискриминант D положительный, что значит у нас есть два корня. Обозначим эти корни как x1 и x2.

x1 = (-b - √D) / (2a) = (-7/3 - √(73/9)) / (2 * (-2/3)) = (-7/3 - √(73/9)) / (-4/3) = (7 + 3√(73)) / 4

x2 = (-b + √D) / (2a) = (-7/3 + √(73/9)) / (2 * (-2/3)) = (-7/3 + √(73/9)) / (-4/3) = (7 - 3√(73)) / 4

Теперь рассмотрим интервалы между корнями и за ними. Выберем тестовую точку в каждом интервале и проверим, является ли она решением исходного неравенства.

Выберем x = 0 (любую точку между x1 и x2):

-2/3 * (0)² + 7/3 * (0) - 1 ≤ 0 -1 ≤ 0

Так как это неравенство верно, то любое значение x в интервале (x1, x2) является решением исходного неравенства.

Ответ: Решением неравенства 1) является интервал (x1, x2), где x1 = (7 + 3√(73)) / 4 и x2 = (7 - 3√(73)) / 4.

Решение неравенства 2: 1/3х - 4/9 ≥ х(х-1)

Для начала приведем все слагаемые в левой части неравенства:

1/3х - 4/9 - х(х-1) ≥ 0

Затем раскроем скобку во втором слагаемом:

1/3х - 4/9 - х² + х ≥ 0

Теперь объединим все слагаемые в одной части неравенства:

-х² + (1/3)х + х - 4/9 ≥ 0

Упростим выражение:

-х² + (4/3)х - 4/9 ≥ 0

Исходное неравенство представляет собой квадратное неравенство. Чтобы решить его, проанализируем знаки на интервалах.

1. Рассмотрим интервал x < 0: * Выберем x = -1 (любую точку в интервале x < 0): -(-1)² + (4/3)(-1) - 4/9 ≥ 0 -1 + (-4/3) - 4/9 ≥ 0 -19/9 ≥ 0 * Знак неравенства не выполняется для этого интервала.

2. Рассмотрим интервал 0 < x < 1: * Выберем x = 1/2 (любую точку в интервале 0 < x < 1): -(1/2)² + (4/3)(1/2) - 4/9 ≥ 0 -1/4 + 2/3 - 4/9 ≥ 0 -1/36 ≥ 0 * Знак неравенства выполняется для этого интервала.

3. Рассмотрим интервал x > 1: * Выберем x = 2 (любую точку в интервале x > 1): -(2)² + (4/3)(2) - 4/9 ≥ 0 -4 + 8/3 - 4/9 ≥ 0 4/9 ≥ 0 * Знак неравенства выполняется для этого интервала.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах 0 < x < 1 и x > 1.

Ответ: Решением неравенства 2) является интервал (0, 1) объединенный с интервалом (1, +∞).

Решение неравенства 3: 2х - 2,5 > х(х-1)

Для начала приведем все слагаемые в левой части неравенства:

2х - 2,5 - х(х-1) > 0

Затем раскроем скобку во втором слагаемом:

2х - 2,5 - х² + х > 0

Теперь объединим все слагаемые в одной части неравенства:

-х² + 3х - 2,5 > 0

Данное неравенство представляет собой квадратное неравенство. Чтобы найти его решение, проведем анализ знаков на интервалах.

1. Рассмотрим интервал x < 0: * Выберем x = -1 (любую точку в интервале x < 0): -(-1)² + 3(-1) - 2,5 > 0 -1 - 3 - 2,5 > 0 -6,5 > 0 * Знак неравенства выполняется для этого интервала.

2. Рассмотрим интервал 0 < x < 1: * Выберем x = 1/2 (любую точку в интервале 0 < x < 1): -(1/2)² + 3(1/2) - 2,5 > 0 -1/4 + 3/2 - 2,5 > 0 -2,25 > 0 * Знак неравенства не выполняется для этого интервала.

3. Рассмотрим интервал x > 1: * Выберем x = 2 (любую точку в интервале x > 1): -(2)² + 3(2) - 2,5 > 0 -4 + 6 - 2,5 > 0 -0,5 > 0 * Знак неравенства не выполняется для этого интервала.

Таким образом, неравенство выполняется только на интервале x < 0.

Ответ: Решением неравенства 3) является интервал (-∞, 0).