Question

А) В клетчатом квадрате n × n закрасили все клетки на главной диагонали и все клетки, лежащие ниже главной диагонали. Сколько всего клеток было закрашено? б) На плоскости проведено n прямых. Никакие две из них не параллельны, никакие три не пересекаются в одной точке. На сколько частей эти прямые делят плоскость? в) Коля рисует на клетчатой бумаге пирамидку: в первом сверху ярусе одна клетка, во втором — три, в третьем — пять, в четвёртом — семь, и так далее. Сколько всего клеточек будет в первых 20 ярусах пирамидки? Указание. Подумайте, как эта задача связана с предыдущей.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

а) В квадрате 2х2 будет закрашена диагональ длиной 2 клетки и ещё 1 клетка под ней. Всего 2 + 1 = 3 клетки.

В квадрате 3х3 будет закрашена диагональ длиной 3 клетки и ещё 2 + 1 = 3 клетки под ней. Всего 3 + 2 + 1 = 6 клеток.

Можно сделать вывод, что в квадрате nxn будет закрашено:

n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1 = n(n+1)/2 = (n^2 + n)/2 клеток.

б) Очевидно, что все прямые пересекаются каждая со всеми остальными, и в каждой точке пересекается только 2 прямых.

1 прямая делить плоскость на 2 части. Вторая прямая делит каждую из частей на 2 части, получается 4.

Треться прямая делит 3 области и добавляет ещё 3 части.

Получается 4 + 3 = 7 частей.

И так далее. Каждая прямая добавляет столько частей, сколько есть прямых.

4-ая прямая делит плоскость на 11 частей, 5-ая на 16 частей, и т.д.

Всего n прямых делят плоскость на n(n+1)/2 + 1 = (n^2 + n + 2)/2 частей.

в) В 1 ярусе 1 клетка. Во 2-ом ярусе 3 клетки.

Всего в двух ярусах 1 + 3 = 4 = 2^2 клетки.

В 3 ярусе 5 клеток. Всего в трех ярусах 4 + 5 = 9 = 3^2 клеток.

И так далее. В пирамиде из n ярусов будет n^2 клеток.

В пирамиде из 20 ярусов будет 20^2 = 400 клеток.

Answer 2

А) В клетчатом квадрате \(n \times n\) были закрашены клетки на главной диагонали и все клетки, лежащие ниже неё. На главной диагонали находится \(n\) клеток, а под ней находится \(1 + 2 + 3 + \ldots + (n-1)\) клеток. Это арифметическая прогрессия, и сумма первых \(n-1\) натуральных чисел вычисляется по формуле \(S = \frac{n \cdot (n-1)}{2}\). Таким образом, общее количество закрашенных клеток будет равно \(n + \frac{n \cdot (n-1)}{2}\).

Б) Проведено \(n\) прямых на плоскости, никакие две из них не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. Каждая новая прямая может пересечь предыдущие прямые в \(n-1\) точке (потому что никакие три не могут пересекаться в одной точке). Таким образом, каждая новая прямая увеличивает общее количество точек пересечения на \(n-1\). Итак, общее количество точек пересечения равно \(1 + (n-1) + (n-1) + \ldots + (n-1)\) (сумма \(n\) слагаемых). Снова используем формулу для суммы арифметической прогрессии: \(S = n \cdot (n-1)\).

В) Коля рисует на клетчатой бумаге пирамидку, где в первом ярусе одна клетка, во втором — три, в третьем — пять, и так далее. Это представляет собой последовательность нечетных чисел. Сумма первых \(n\) нечетных чисел равна \(n^2\). Это можно рассматривать как сумму членов арифметической прогрессии, где разность равна 2. Таким образом, формула для суммы первых \(n\) нечетных чисел: \(S = n^2\).

Эти задачи связаны тем, что они используют арифметические прогрессии для нахождения сумм чисел в различных сценариях.