Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=tgx y=0 x=п/4​

Answer 1

Объяснение:

$></p><p><img src=$

Ответ: S≈0,346574 кв. ед.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = \tan(x)\), \(y = 0\) и \(x = \frac{\pi}{4}\), нужно разделить эту фигуру на две части: верхнюю и нижнюю, относительно оси x, и затем вычислить интеграл от модуля разности этих функций на заданном интервале.

Сначала определим точки пересечения кривой \(y = \tan(x)\) с осями x и y:

1. Для \(y = 0\), имеем \(0 = \tan(x)\). Это уравнение имеет решение при \(x = 0\).

2. Для \(x = \frac{\pi}{4}\), \(y = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\).

Теперь мы знаем, что наша фигура ограничена осью x от 0 до \(\frac{\pi}{4}\) и верхней границей функцией \(y = \tan(x)\), а нижней границей - осью x.

Теперь вычислим площадь этой фигуры:

\[ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\tan(x) - 0| dx \]

Так как \(\tan(x)\) положительна на этом интервале, то модуль не влияет на результат. Теперь вычислим интеграл:

\[ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) dx \]

Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Пусть \(u = \tan(x)\) и \(dv = dx\). Тогда \(du = \sec^2(x)dx\) и \(v = x\). Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

\[ S = \left. x\tan(x) \right|_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\sec^2(x)dx \]

Вычислим значения в пределах:

\[ S = \left(\frac{\pi}{4}\cdot\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) - \left(0\cdot\tan(0)\right) - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\sec^2(x)dx \]

Учитывая, что \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\) и \(\tan(0) = 0\), упростим выражение:

\[ S = \frac{\pi}{4} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\sec^2(x)dx \]

Теперь нужно вычислить интеграл \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\sec^2(x)dx\). Для этого можно воспользоваться интегрированием по частям ещё раз. Пусть \(u = x\) и \(dv = \sec^2(x)dx\), тогда \(du = dx\) и \(v = \tan(x)\). Применяя формулу интегрирования по частям снова, получим:

\[ \int x\sec^2(x)dx = x\tan(x) - \int \tan(x)dx \]

Теперь выразим \(\int \tan(x)dx\) через \(\ln(\sec(x))\):

\[ \int \tan(x)dx = -\ln|\cos(x)| + C \]

Теперь можем вычислить интеграл:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\sec^2(x)dx = \left. \left(x\tan(x) + \ln|\cos(x)|\right) \right|_0^{\frac{\pi}{4}} \]

Вычислим значения в пределах:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\sec^2(x)dx = \left(\frac{\pi}{4}\cdot\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \ln|\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)|\right) - \left(0\cdot\tan(0) + \ln|\cos(0)|\right) \]

Учитывая, что \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\), \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\ln|\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)| = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{2}\ln(2)\) и \(\tan(0) = 0\), \(\ln|\cos(0)| = \ln|1| = 0\), получаем:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\sec^2(x)dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln(2) \]

Теперь можем найти площадь фигуры:

\[ S = \frac{\pi}{4} - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln(2)\right) = \frac{1}{2}\ln(2) \]

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = \tan(x)\), \(y = 0\) и \(x = \frac{\pi}{4}\), равна \(\frac{1}{2}\ln(2)\).