Question

Найдите наибольшее биномиальный коэффициент разложения (m+n)^8 (x+7)^7​

Answer 1

Для нахождения наибольшего биномиального коэффициента в разложении выражения \((m + n)^8 (x + 7)^7\), нужно определить, какой из биномиальных коэффициентов будет иметь наибольшее значение.

Общая формула биномиального коэффициента выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n! \) обозначает факториал числа \( n \).

В данном случае у нас есть два биномиальных коэффициента: один из \((m + n)^8\) и другой из \((x + 7)^7\). Мы хотим найти наибольший биномиальный коэффициент.

1. Для \((m + n)^8\): Биномиальные коэффициенты для этого разложения будут иметь вид \( C(8, k) \), где \( k \) изменяется от 0 до 8.

2. Для \((x + 7)^7\): Биномиальные коэффициенты для этого разложения будут иметь вид \( C(7, k) \), где \( k \) изменяется от 0 до 7.

Теперь, давайте найдем максимальные значения этих биномиальных коэффициентов.

1. Для \((m + n)^8\):

\[ C(8, k) = \frac{8!}{k!(8-k)!} \]

Максимальное значение будет достигаться при \( k = 4 \), так как это середина (ближе к центру). Таким образом, максимальный биномиальный коэффициент для этого разложения будет \( C(8, 4) \).

2. Для \((x + 7)^7\):

\[ C(7, k) = \frac{7!}{k!(7-k)!} \]

Максимальное значение будет достигаться при \( k = 3 \), так как это также середина. Таким образом, максимальный биномиальный коэффициент для этого разложения будет \( C(7, 3) \).

Таким образом, наибольший биномиальный коэффициент в разложении \((m + n)^8 (x + 7)^7\) будет равен произведению \( C(8, 4) \times C(7, 3) \).