Question

Задание 1. Решить уравнение sin^4(2x)+cos^4(2x)=cos^2(4x(+1/4. В ответ записать значение 4x0/pi, где x0 - наименьший положительный корень уравнения. Задание 2. Сколько корней имеет уравнение x^3=sin3x?

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Задание 1: Решение уравнения sin^4(2x) + cos^4(2x) = cos^2(4x + 1/4)

Для решения данного уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования.

1. Применим тождество cos^2(θ) = 1 - sin^2(θ) к уравнению: sin^4(2x) + (1 - sin^2(2x))^2 = cos^2(4x + 1/4)

2. Раскроем квадрат второго слагаемого: sin^4(2x) + (1 - 2sin^2(2x) + sin^4(2x)) = cos^2(4x + 1/4)

3. Сгруппируем слагаемые: 2sin^4(2x) - 2sin^2(2x) + 1 = cos^2(4x + 1/4)

4. Заменим cos^2(θ) на 1 - sin^2(θ): 2sin^4(2x) - 2sin^2(2x) + 1 = 1 - sin^2(4x + 1/4)

5. Упростим уравнение: 2sin^4(2x) - 2sin^2(2x) + sin^2(4x + 1/4) = 0

6. Заменим sin^2(θ) на 1 - cos^2(θ): 2sin^4(2x) - 2sin^2(2x) + 1 - cos^2(4x + 1/4) = 0

7. Упростим уравнение: 2sin^4(2x) - 2sin^2(2x) - cos^2(4x + 1/4) + 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение численно или графически, чтобы найти значения x, удовлетворяющие уравнению. Однако, для нахождения значения 4x0/π, где x0 - наименьший положительный корень уравнения, нам потребуется использовать численные методы или компьютерное программное обеспечение.

Задание 2: Количество корней уравнения x^3 = sin(3x)

Для определения количества корней уравнения x^3 = sin(3x), мы можем использовать графический метод или аналитический метод.

1. Графический метод: Построим графики функций y = x^3 и y = sin(3x) и найдем точки их пересечения. Количество пересечений графиков будет соответствовать количеству корней уравнения.

2. Аналитический метод: Для аналитического решения уравнения x^3 = sin(3x), мы должны использовать численные методы или компьютерное программное обеспечение, так как данное уравнение не имеет аналитического решения.

Итак, чтобы определить количество корней уравнения x^3 = sin(3x), нам потребуется использовать численные методы или компьютерное программное обеспечение.