Question

Решите уравнение: cos2x-2cos²x=2cosx

Answer 1

Решение на фотографии 

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по шагам.

Шаг 1: Приведение косинусов к углам с помощью тригонометрических тождеств. У нас есть следующие тригонометрические тождества: cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) cos²(x) = 1 - sin²(x)

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом: cos²(x) - sin²(x) - 2cos²(x) = 2cos(x)

Шаг 2: Замена sin²(x) на 1 - cos²(x) Подставим значение sin²(x) из тождества в уравнение: cos²(x) - (1 - cos²(x)) - 2cos²(x) = 2cos(x)

Упростим уравнение: cos²(x) - 1 + cos²(x) - 2cos²(x) = 2cos(x)

Шаг 3: Сокращение подобных слагаемых Соберем все слагаемые с cos²(x) вместе и вынесем 2cos(x) налево: 2cos²(x) - 2cos(x) - 1 = 0

Шаг 4: Перепишем уравнение в квадратном виде Перепишем уравнение с учетом того, что 2cos(x) = a: 2a² - 2a - 1 = 0

Шаг 5: Решение квадратного уравнения Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение: a = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В нашем случае: a = 2, b = -2, c = -1

Подставляем значения в формулу: a = (-(-2) ± √((-2)² - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2) a = (2 ± √(4 + 8)) / 4 a = (2 ± √12) / 4 a = (2 ± 2√3) / 4

Шаг 6: Находим значения cos(x) Теперь, используя значения a, найдем значения cos(x): cos(x) = a / 2

Для первого решения: cos(x) = (2 + 2√3) / 4 cos(x) = (1 + √3) / 2

Для второго решения: cos(x) = (2 - 2√3) / 4 cos(x) = (1 - √3) / 2

Шаг 7: Находим значения x Теперь найдем значения x, используя обратную функцию косинуса: x = arccos((1 + √3) / 2) x = arccos((1 - √3) / 2)

Таким образом, решения уравнения cos(2x) - 2cos²(x) = 2cos(x) равны: x = arccos((1 + √3) / 2) x = arccos((1 - √3) / 2)

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.